51Nod 1601 完全圖的最小生成樹計數

題目鏈接

分析：

這是一張完全圖，並且邊的權值是由點的權值$xor$得到的，所以我們考慮貪心的思想，考慮$kruskal$的過程選取最小的邊把兩個連通塊合並，所以我們可以模仿$kruskal$的過程，倒着做$kruskal$，設定當前的最高位為$d$，我們把點集分為兩個集合，$s$集合代表$d$位為$1$的點，$t$集合代表$d$位為$0$的點，就是$st$兩個連通塊，考慮這兩個連通塊的連接，把$t$連通塊建出一棵$trie$樹，然后枚舉$s$集合中的點，去查找最小邊，然后統計最小邊的數量，遞歸解決$st$兩個連通塊，最后統計方案數的時候就是乘法原理...

為什么按照每一位的$01$來划分集合？我們考慮現在把$s$拆成兩個連通塊，這樣一共有三個連通塊，如果按照貪心的思想，一定是先連接$s$的連通塊，因為最高位一定是$0$，這樣邊比較小...

需要注意的細節就是如果有很多相同的點，並且這張子圖是完全圖，那么這就是一個完全圖生成樹計數的問題，根據$prufer$可以得出點數為$n$的完全圖生成樹計數為$n^{n-2}$...證明請見：http://www.matrix67.com/blog/archives/682

代碼：

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
//by NeighThorn
#define pa pair<int,int>
#define inf 0x3f3f3f3f
#define mp make_pair
using namespace std;

const int maxn=100000+5,mod=1e9+7;

int n,tot,anscnt,a[maxn],s[maxn],t[maxn],fac[maxn];
long long sum;

struct Trie{
	int cnt,nxt[2];
}tr[maxn*30];

inline int read(void){
	char ch=getchar();int x=0;
	while(!(ch>='0'&&ch<='9')) ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
	return x;
}

inline void init(void){
	for(int i=0;i<=tot;i++)
		tr[i].nxt[0]=tr[i].nxt[1]=tr[i].cnt=0;
	tot=0;
}

inline void insert(int x){
	int p=0;
	for(int i=30,y;i>=0;i--){
		y=(x>>i)&1;
		if(!tr[p].nxt[y])
			tr[p].nxt[y]=++tot;
		p=tr[p].nxt[y];
	}
	tr[p].cnt++;
}

inline pa find(int x){
	int p=0,ans=0;
	for(int i=30,y;i>=0;i--){
		y=(x>>i)&1;
		if(tr[p].nxt[y]) p=tr[p].nxt[y],ans|=y<<i;
		else p=tr[p].nxt[y^1],ans|=(y^1)<<i;
	}
	return mp(ans^x,tr[p].cnt);
}

inline int power(int x,int y){
	int res=1;
	while(y){
		if(y&1) res=1LL*res*x%mod;
		x=1LL*x*x%mod,y>>=1;
	}
	return res;
}

inline void solve(int l,int r,int dep){
	if(l>=r) return;
	if(dep<0){
		if(r-l+1>=2)
			anscnt=1LL*anscnt*power(r-l+1,r-l-1)%mod;
		return;
	}
	int cnt1=0,cnt2=0;
	for(int i=l;i<=r;i++)
		if((a[i]>>dep)&1) s[cnt1++]=a[i];
		else t[cnt2++]=a[i];
	for(int i=0;i<cnt1;i++) a[l+i]=s[i];
	for(int i=0;i<cnt2;i++) a[l+cnt1+i]=t[i];
	init();pa tmp;int ans=inf,cnt=0;
	for(int i=0;i<cnt2;i++) insert(t[i]);
	for(int i=0;i<cnt1;i++){
		tmp=find(s[i]);
		if(tmp.first<ans)
			ans=tmp.first,cnt=tmp.second;
		else if(tmp.first==ans)
			cnt+=tmp.second;
	}
	if(sum!=inf&&cnt) sum+=ans,anscnt=1LL*cnt*anscnt%mod;
	solve(l,l+cnt1-1,dep-1);solve(l+cnt1,r,dep-1);
}

signed main(void){
	n=read(),anscnt=1;fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=1LL*fac[i-1]*i%mod;
	for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
	solve(1,n,30);
	printf("%lld\n%d\n",sum,anscnt);
	return 0;
}

 

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By NeighThorn