本文我們討論復數及其旋轉的含義。復數很有意思，本文介紹了復數的基本定義和性質，以及它關於旋轉的幾何意義。
復數對於旋轉的表示非常重要：
1. 它引入了旋轉算子（rotational operator）的思想：可以通過復數表示一個旋轉變換。
2. 它是四元數和多向量的內在屬性。
雖然我們暫時不討論四元數和多向量（后面文章會介紹），但是我們會討論復數的旋轉含義（復平面上的 2D 旋轉），以及引入的旋轉子（rotor），我們發現通過特定的復數可以描述一個 2D 旋轉。
介紹
復數（complex number）又稱為數字王國中的“國王”，它可以解決普通實數不能很好解決的問題。
例如，對於以下方程：
$$x^2+1=0$$
盡管方程如此簡單，但並沒有實數解。實際上，實數無法解決這樣的問題：
$$x=\sqrt{-1}$$
但這沒有妨礙數學家們找到解決此類問題的方法，他們提出一個很牛很簡單的思想，就是承認 $i$ 的存在，它滿足 $i^2=-1$，於是前面的方程我們可以解出：
$$x=\pm i$$
那么 $i$ 到底是什么呢？我們可以不必糾結，$i$ 就是數學家提出的數學工具，一個簡單的數學對象，滿足 $i^2=-1$。本文會探討這個數學工具對於旋轉如何發揮作用。
復數基礎
復數的定義
復數由兩個部分組成：實部（real part）和虛部（imaginary part）。實部就是我們平常遇到的數（正數、負數、0），而虛部是一個實數和 $i$ 的乘積。
例如，$2+3i$ 是一個復數，2 是實部，$3i$ 是虛部。
復數集就像是實數集的擴展，它包含了所有實數（虛部為 0）。而虛部不為 0 的復數不是實數。以下都屬於復數：
- 2
- $2+2i$
- $1-3i$
- $-4i$
- $17i$
- $isin\theta$
- $4.5+icos\theta$
不過在 Python 中，復數的 $i$ 符號用 $j$ 表示，在 Jupyter 中運行 Python：
1 z = 3 + 4j 2 z, z.real, z.imag # 復數、實部、虛部
輸出：
((3+4j), 3.0, 4.0) 5.0
復數的公理
下面的公理體現了復數的性質。對於任意的復數 $z_1$、$z_2$ 和 $z_3$，滿足：
- 加法交換律：$z_1+z_2=z_2+z_1$
- 加法結合律：$(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$
- 乘法交換律：$z_1z_2=z_2z_1$
- 乘法結合律：$(z_1z_2)z_3=z_1(z_2z_3)$
- 乘法分配律：$z_1(z_2+z_3)=z_1z_2+z_1z_3$、$(z_1+z_2)z_3=z_1z_3+z_2z_3$
其實復數的這些加法和乘法的公理和實數一樣的。由於復數集里面包含實數集，如果不和實數一致，反而比較奇怪的。
復數的模
模（modulus）有長度的含義。對於復數 $z=a+bi$，它的模定義為：
$$\left | z \right |=\sqrt{a^2+b^2}$$
例如，$3+4i$ 的模為 5。
后面我們會看到，模定義在復數的極坐標表示中的作用。
例子：
abs(3 + 4j) # 模
輸出：
5.0
復數的加減
對於兩個復數：$z_1=a+bi$ 和 $z_2=c+di$，其加減法為
$$z_1\pm z_2=(a\pm c)+(b\pm d)i$$
即實部和虛部分別相加減。
例子：
(2 + 3j) + (3 - 4j) # 加法
輸出：
(5-1j)
復數的標量乘法
標量乘法同樣符合我們的直覺。對於標量 $\lambda$ 和復數 $a+bi$，有
$$\lambda(a+bi)=\lambda a+\lambda bi$$
例如：
$$2(3+5i)=6+10i$$
2 * (3 + 5j) # 標量乘法
輸出：
(6+10j)
兩個復數的乘積
兩個復數的乘積就是各項分別相乘並相加。對於兩個復數 $z_1=a+bi$ 和 $z_2=c+di$，有
\begin{align*}
z_1z_2 &= (a+bi)(c+di)\\
&= ac+adi+bci+bdi^2\\
&= (ac-bd)+(ad+bc)i
\end{align*}
例如，對於 $z_1=3+4i$ 和 $z_2=5-2i$，有
\begin{align*}
z_1z_2 &= (3+4i)(5-2i)\\
&= 15-6i+20i-8i^2\\
&= 23+14i
\end{align*}
可以看到。兩個復數的加減和乘積都是一個復數。
(3 + 4j) * (5 - 2j) # 兩復數的乘法
輸出：
(23+14j)
共軛復數
兩個復數相乘還有個特殊情況：
\begin{align*}
(a+bi)(a-bi)&=a^2-b^2i \\
&= a^2+b^2
\end{align*}
其中 $a-bi$ 稱作是 $a+bi$ 的共軛復數（conjugate complex number），又稱復共軛、復數共軛。
更一般的定義，$z=a+bi$ 的共軛復數用 $\bar{z}$ 或 $z^*$ 表示，其中：
$$z^*=a-bi$$
而
$$zz^*=a^2+b^2=\left |z \right |^2$$
例子：
(3 + 4j).conjugate() # 共軛復數
輸出：
(3-4j)
兩個復數的除法
利用共軛復數的性質，我們再來看復數的除法。
對於 $z_1=a+bi$ 和 $z_2=c+di$，其中 $z_2\neq 0$。
那么，
\begin{align*}
\frac{z_1}{z_2}&=\frac{z_1z_2^*}{z_2z_2^*} \\
&= \frac{z_1z_2^*}{\left | z_2 \right |^2} \\
&= \frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2} \\
&= \frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}
\end{align*}
例子：
\begin{align*}
\frac{4+3i}{3+4i}&=\frac{(4*3+3*4)+(3*3-4*4)i}{3^2+4^2} \\
&= \frac{24}{25}-\frac{7}{25}i
\end{align*}
(4 + 3j) / (3 + 4j) # 兩復數的除法
輸出：
(0.96-0.28j)
復數的逆
已知一個復數 $z\neq 0$，定義它的逆 $z^{-1}=\frac{1}{z}$。利用共軛復數的性質，我們可以推導：
$$\frac{z^{-1}}{z^*}=\frac{1}{zz^*} = \frac{1}{\left | z \right |^2}$$
$$\Rightarrow z^{-1}=\frac{z^*}{\left | z \right |^2}$$
例子：
\begin{align*}
\frac{1}{3+4i} &=(3+4i)^{-1} \\
&= \frac{3-4i}{25} \\
&= \frac{3}{25}-\frac{4}{25}i
\end{align*}
檢查：$(3+4i)(\frac{3}{25}-\frac{4}{25}i)=\frac{9}{25}-\frac{12}{25}i+\frac{12}{25}i+\frac{16}{25}=1$
1 / (3 + 4j) # 復數求逆
輸出：
(0.12-0.16j)
復數與旋轉
首先，考慮一條實數軸，想象對於一個實數而言，與它的相反數究竟有什么關系？
我們可以把相反數看成：原實數繞原點旋轉了 180°。
例如，“2” 旋轉 180° 后變成 -2，“-3” 旋轉 180° 后變成 “3”。由於復數的定義，我們可以把相反數 $-n$ 寫成：
$$-n=i^2n$$
於是我們可以把乘以 $i^2$ 看成是繞原點 180° 的旋轉。那么乘以 $i$ 表示什么呢？
90° 的旋轉。
復平面
當我們用復數的實部和虛部構建一個 2D 坐標系，這就是復平面（complex plane）。復平面的橫坐標表示實部，縱坐標表示虛部。
使用復平面，我們來觀察這個 90° 的旋轉是什么意思。
下面我們畫出 4 個復數：$z_1=1+2i$、$z_2=-2+i$、$z_3=-1-2i$、$z_4=2-i$，它們分別可以代表 4 個長度相等的向量：$u$、$v$、$w$、$a$。之所以長度相等，是因為這 4 個復數的模相等。
我們可以看到它們依次逆時針旋轉 90°。例如，
對 $u$ 旋轉 90°：$i(1+2i)=-2+i=v$，得到 $v$。
對 $v$ 旋轉 90°：$i(-2+i)=-1-2i=w$，得到 $w$。
對 $w$ 旋轉 90°：$i(-1-2i)=2-i=a$，得到 $a$。
對 $a$ 旋轉 90°：$i(2-i)=1+2i=u$，得到 $u$。
於是我們發現，要對一個復數（這個復數在復平面可以表示為一個 2D 向量）旋轉 90°，只需乘以 $i$ 即可。
幾百年前，Euler 通過復平面把復數畫了出來，而其中蘊含的“復數可以表示旋轉”的思想，在現在很多領域得到了應用。
極坐標表示
我們再整理一下上兩節的內容。我們實際上發現：復數在幾何上的有一些有意思的性質。
如果我們用復數來表示一個 2 維直角坐標系上的向量的話（當然復數是一個數學工具，也可以表示其他含義），看起來乘以 $i$ 表示旋轉 90°。
那么自然地，我們就會去進一步思考，如果旋轉任意角度應該怎么表達呢？旋轉 45° 究竟是乘以 $\frac{1}{2}i$，還是乘以 $\sqrt{i}$，還是乘以其他的什么東西？
以及，為什么乘以復數會表示旋轉？
為了解決這兩個問題，我們開始引入復平面上的極坐標表示。
在這樣的極坐標下，復數 $z=a+bi$ 可以通過長度 $\left r=| z \right |$ 和角度 $\theta=arg(z) $ 來唯一確定。
長度 $r$ 等於復數的模，而角度 $\theta$ 是實數軸和復數所表示的向量的夾角，稱為幅角（argument），記為 $arg(z)$。接下來根據三角函數，我們有 $a=rcos\theta $ 和 $b=rsin\theta $，於是可以得到：
\begin{align*}
z&=a+bi \\
&=rcos\theta+irsin\theta \\
&=r(cos\theta+isin\theta)
\end{align*}
根據歐拉公式 $e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta$，復數的極坐標表示可以寫成更為簡潔的形式：
$$z=re^{i\theta}$$
關於歐拉公式
Euler 提出的歐拉公式體現了自然底數 $e$ 和三角函數 $sin\theta$、$cos\theta$ 之間的關系。
關於它的含義一眼看去並不直觀。歐拉方程的其中一種證明方法是利用泰勒級數展開式把 $e^x$ 、$cosx$ 和 $sinx$ 關聯起來。以下是簡單證明。
根據級數展開：
$$e^{i\theta}=1+(i\theta)+\frac{(i\theta)^2}{2!}+\frac{(i\theta)^3}{3!}+...$$
$$cos\theta=1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\frac{\theta^6}{6!}+...$$
$$sin\theta=1-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\frac{\theta^7}{7!}+...$$
根據復數的定義 $i^2=-1$，於是有：
\begin{align*}
e^{i\theta} &= 1 + i\theta - \frac{\theta^2}{2!} - i\frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^4}{4!}+i\frac{\theta^5}{5!}- \frac{\theta^6}{6!} - i\frac{\theta^7}{7!}+...\\
&= (1-\frac{\theta^2}{2!}+ \frac{\theta^4}{4!}- \frac{\theta^6}{6!}+...)+i(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\frac{\theta^7}{7!}+...) \\
&=cos\theta+isin\theta
\end{align*}
到了這種表達形式后，我們再看兩個復數的乘法，就會發現它的幾何含義。
給定兩個任意用極坐標表示的復數：$z_1=r_1e^{i\theta _1}$ 和 $z_2=r_2e^{i\theta _2}$。那么我們會得到：
\begin{align*}
z_1z_2 &= r_1r_2e^{i\theta _1}e^{i\theta _2} \\
&= r_1r_2e^{i(\theta _1+\theta _2)}
\end{align*}
可以看到，兩個復數的乘積得到另一個復數。
它的模等於兩個復數的模的乘積：$\left | z_1z_2 \right |=r_1r_2$。
它的幅角等於兩個復數的幅角的和：$arg(z_1z_2)=\theta _1+\theta _2$
於是看起來，考慮復平面這個幾何情形，乘以一個復數，可以同時帶來兩種變換的效果。
1. 長度的縮放（通過改變模長）。
2. 旋轉（通過改變幅角）。
旋轉子
接下來一個很自然的想法，就是：乘以一個什么樣的復數，不會產生縮放，只會產生旋轉？
顯然，通過前面極坐標下自然底數的表達形式的推導，我們知道乘以一個模為 1 的復數時，不會導致縮放，只會產生旋轉。
這樣的復數就稱為旋轉子（rotor），旋轉子提供了“純”旋轉動作的數學表示，它可以將復數旋轉任意角度。一般而言，將復數旋轉角度 $\theta$ 的旋轉子定義為：
$$R_\theta =cos\theta + isin\theta =e^{i\theta}$$
例如，對於復數 $2+2i$，我們如果需要對它進行逆時針 45° 的旋轉，需要乘以：
$$1\cdot e^{i\cdot 45^{\circ}}=cos45^{\circ}+isin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i$$
我們通過手算計算出其乘積為 $2\sqrt{2}i$
$$(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i)(2+2i)=\sqrt{2}+\sqrt{2}i+\sqrt{2}i+\sqrt{2}i^2=2\sqrt{2}i$$
如果通過 Python 計算會得到其對應的結果：
1 from math import pi, cos, sin 2 3 theta = pi / 4 # 定義角度 4 z1 = 2 + 2j 5 z2 = cos(theta) + 1j * sin(theta) 6 print(z1) 7 print(z2) 8 print(z1 * z2)
輸出：
(2+2j) (0.7071067811865476+0.7071067811865476j) 2.8284271247461903j
通過下圖，我們看到了旋轉子的“純”旋轉效果。
接下來，我們看看旋轉子的共軛復數是什么。由於旋轉子模為 1，而根據前面共軛復數和逆的定義，我們不難證明：旋轉子的共軛復數等於該旋轉子的逆。
對於旋轉子 $R_\theta=e^{i\theta}=cos\theta+isin\theta$，
它的共軛復數：$(R_\theta)^*=cos\theta-isin\theta=cos(-\theta)+isin(-\theta)=R_{-\theta}$
它的逆：$e^{i\theta}e^{-i\theta}=1\Rightarrow (R_\theta)^{-1}=e^{-i\theta}=R_{-\theta}$
那么接着前面的例子，$z_1$ 乘以 $z_2$ 的共軛復數（或者逆）后的效果，是順時針旋轉 45°。
$z_2$ 的共軛復數（或者逆）為：$R_{-\theta}=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i$
手算：$(\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i)(2+2i)=\sqrt{2}-\sqrt{2}i+\sqrt{2}i-\sqrt{2}i^2=2\sqrt{2}$
用代碼計算結果：
1 z3 = z2.conjugate() # z2 的共軛復數 2 print(z3) 3 print(z1 * z3)
輸出：
(0.7071067811865476-0.7071067811865476j) (2.8284271247461903+0j)
最后再看看復平面圖，確認復數 $z_1$ 沿着相反方向旋轉 45°：
“逆”的含義也在於此，既然旋轉子表示旋轉任意角度，那么它的逆就應該是“抵消”這種旋轉效果，於是它的作用就是朝相反的方向旋轉對應的角度。
到此為止，我們已經可以用復數表示二維空間的任意旋轉角度，並且利用復數的逆/共軛復數來表示旋轉的抵消作用。后面我還會繼續發布與旋轉有關的文章。
原文作者：雨先生
原文鏈接：https://www.cnblogs.com/noluye/p/11964513.html
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總結
- 我們談了復數的基礎：復數的定義、公理、加減乘除、模、共軛復數、逆。復數域對實數域進行了很好的擴展，使我們可以去描述旋轉。
- 我們定義了復平面，作為我們討論的二維直角坐標系。
- 我們首先給出了復數的極坐標表示，並且利用歐拉公式推導出了等價的自然底數的表示。到了這一步，復數對於二維旋轉的刻畫性質已經呼之欲出。
- 復數的乘法運算表現了伸縮和旋轉的兩種性質，通過對模進行約束（模長等於 1），我們最終得到只表示旋轉的復數，稱為旋轉子。
- 在旋轉子中，共軛復數和逆是相等的，而逆表示相反方向的旋轉。
參考
- Rotation Transforms for Computer Graphics by John Vince
- 歐拉公式