【3D數學基礎】三維空間折射向量計算

問題：在三維空間中，已知折射率 e 、入射角 L 和法線 N。

要求：計算出折射向量 T。

其中： L、 N 和 T 都為單位向量。

如圖片所示，下面所有的公式都看着這張圖片來求解的：

首先，我們必須了解折射定律：

因為 N、T、L都是單位向量，所以：

那么可以從圖中看出：

接着，如圖中所示，做出輔助向量 t1 、t2、l1、l2，他們滿足於：

注意這里的 l2 、 t2 都是平行於 N 且反向的。l1 、 t1 都是垂直於 N 的。

接着有：

可得

那么：

而 l1 和 t1 是同向的，所以可以直接去掉絕對值：

另外，還有：（再強調一次，這里的 l2 、 t2 都是平行於 N 且反向的。l1 、 t1 都是垂直於 N 的。）

那么：

那么：

還需要求解 t2 ，又是利用 N 與 t2 方向相反且 N 為單位向量的條件：

那么現在可以寫出答案了：

整理一下：

為什么要這樣寫呢？這是因為，我是按照 Nvidia 公司的 CG 手冊給出的公式來整理的：

可以發現 cg 函數中的 refract 的 i 對應於我們的 L，n 對應於我們的 N ， eta 分量是對應於的我們這里的 1 / e。

為了對應於 cg 函數，我們這里用 w 代替  1/e，寫出新的公式：

而對於 cg 函數中最后一句 return 語句的寫法，是用來處理全反射現象的。

簡而言之，cosθ₂ <= 0 的時候就發生了全反射現象。

 

其他解釋可以看下面的黑體字，來自http://www.cnblogs.com/starfallen/archive/2012/11/05/2754992.html 我稍微做了調整：

由於在不同的情況下 e 的值是不同的，再配合上入射角θ₁取值，完全可以讓1-(1/e²)(1-cos²θ₁)的值小於0，這樣上面等式中的cosθ₂豈不是就無意義了？

而事實上，這正是全反射現象。當光線從光密介質進入光疏介質的時候，如果入射角大於某個臨界角時，會發生全反射現象。這個臨界角就是是折射角為90度時對應的入射角，也就是cosθ₂剛好等於0的時候。

 

參考資料：

1. http://www.cnblogs.com/starfallen/archive/2012/11/05/2754992.html

2. cg-3.1 參考手冊 《Cg-3.1_April2012_ReferenceManual》，747 頁，

http://developer.download.nvidia.com/cg/Cg_3.1/Cg-3.1_April2012_ReferenceManual.pdf