實現 sqrt(x)：二分查找法和牛頓法

最近忙里偷閑，每天刷一道 LeetCode 的簡單題保持手感，發現簡單題雖然很容易 AC，但若去了解其所有的解法，也可學習到不少新的知識點，擴展知識的廣度。

創作本文的思路來源於：LeetCode Problem 69. x 的平方根

簡述題目大意（不想跳轉鏈接，可以看這里）：給定一個非負整數 x，要求計算並返回 x 的平方根（取整）。例如，輸入 4，則輸出 2；輸入 8，則輸出 2（8 的平方根是 2.82842……，由於返回類型是整數，因此小數部分被舍去）。即給定一個 \(x\)，我們要計算出 \(\lfloor \sqrt{x} \rfloor\)。

最簡單最直覺的方法自然是從 0 開始遍歷，直到找到第一個其平方值大於 \(x\) 的數 \(n\)，則 \(n-1\) 即是答案。對於任意的 \(x\)，其取整后平方根一定在 \([0, x]\) 區間上，代碼如下：

int sqrt(int x)
{
    if (x == 0)
        return x;
    int ans = 1;
    while (ans <= x / ans)
        ans++;
    return ans - 1;
}

這里需要注意的有兩點：

1. 第 6 行代碼中，while 的判斷條件可以避免溢出。很大概率上，你可能會寫成 while (ans * ans <= x)，這更自然、更直觀，但當 ans 的值很大時，ans * ans 的結果可能會超過 int 類型的最大表示范圍。舉個例子，比如我們要計算 \(x\) 的取整平方根（其值為 \(n\)，即 \(\lfloor \sqrt{x} \rfloor = n\)），算法會將 ans 遍歷到第一個平方超過 \(x\) 的值，即 \(n+1\) 后停止。如果 \(x\) 的值就是 int 類型能夠表示的最大值，那么當 ans 遍歷到 \(n+1\) 時，計算 ans * ans 的結果就超出了 int 類型的表示范圍。
2. 由於在 while 的循環判斷中，我們用除法代替了乘法，因此 ans 便不能再從 0 開始遍歷（否則會導致除零錯誤）。為此，我們可以在算法開始單獨處理 \(x = 0\) 的情況，然后讓 ans 從 1 開始遍歷。

作為一道簡單題，這種暴力朴素的算法自然是可以 AC 的。但其效率極低（需要遍歷 \(O(\sqrt{n})\) 次），在 LeetCode 上的時間效率只能快過約 5% 的用戶，使用 C++ 語言的運行時間平均要 90ms 以上。因此，本文提供了兩種更加高效的算法：二分查找法和牛頓法。

1. 二分查找法

如果你在暴力求解的基礎上繼續思考，很大概率會想到用二分搜索求解。

沒錯，思考暴力求解的策略，我們在區間 \([0, x]\) 上搜索解，而搜索區間 \([0, x]\) 天然是有序的，自然可以用二分搜索代替線性搜索，以大大提高搜索效率。

更進一步的，我們還可以縮小我們的搜索區間。直覺告訴我們，對於一個非負整數 \(x\)，其 \(\sqrt{x}\) 應該不會大於 \(x / 2\)（例如，\(\sqrt{25} = 5\)，小於 \(25 / 2 = 12.5\)）。我們可以證明：

\[\begin{aligned} &\text{設 } y = \frac{x}{2} - \sqrt{x},\text{ 則 } y^\prime = \frac{1}{2} - \frac{1}{2\sqrt{x}}, \\[2ex] &\text{令 } y^\prime = 0, \text{ 可得駐點 } x = 1, \\[2ex] &\text{當 } x > 1 \text{ 時}, y^\prime > 0, \text{ 即當 } x > 1 \text{ 時 }, y = \frac{x}{2} - \sqrt{x} \text{ 的值單調遞增}, \\[2ex] &\text{可推出, 當 } x > 1 \text{ 時}, \lfloor \frac{x}{2} \rfloor - \lfloor \sqrt{x} \rfloor \text{ 的值單調遞增}, \\[2ex] &\text{又因為當 } x = 2 \text{ 時}, \lfloor \frac{x}{2} \rfloor - \lfloor \sqrt{x} \rfloor = 0, \\[2ex] &\text{所以當 } x \geq 2 \text{ 時}, \lfloor \frac{x}{2} \rfloor - \lfloor \sqrt{x} \rfloor \geq 0, \text{ 即 } x \geq 2 \text{ 時}，\lfloor \frac{x}{2} \rfloor \geq \lfloor \sqrt{x} \rfloor &\text{(證畢)} \end{aligned} \]

通過證明我們可以得知，當所求的 \(x\) 大於等於 \(2\) 時，sqrt(x) 的搜索空間為 \([1, x / 2]\)，對於 \(x < 2\) 的情況，我們只要特殊處理即可（這里我們也可以得到結論：當 \(x \geq 1\) 時，\(\lfloor \frac{x}{2} \rfloor + 1 \geq \lfloor \sqrt{x} \rfloor\)，然后單獨處理 \(x < 1\) 的情況）。代碼：

int sqrt(int x)
{
    if (x < 2)	// 處理特殊情況
        return x;
    
    int left = 1, right = x / 2;
    while (left <= right) {
        # 避免溢出，相當於 mid = (left + right) / 2
        int mid = left + ((right - left) >> 1);
        if (mid == x / mid)
            return mid;
        else if (mid > x / mid)
            right = mid - 1;
        else
            left = mid + 1;
    }
    return right;
}

在這里解釋一下最后的返回值為什么是 right。對於二分查找，其搜索空間會不斷收縮到 left == right（關於二分查找，這里不多贅述，自行手動模擬即可），此時 mid、left和 right 三者的值相等（mid = (left + right) / 2）。根據二分查找的搜索范圍的收縮條件可知，left（或 mid）左側的值都小於等於 \(\lfloor \sqrt{x} \rfloor\)，right（或 mid）右側的值都大於 \(\lfloor \sqrt{x} \rfloor\)，此時（while 的最后一次循環），判斷 mid 的平方與 x 的大小，有三種情況：

1. mid == x / mid。則在循環內直接返回 mid 的值。
2. mid > x / mid。這種情況下，因為 mid 左側的值都小於等於 \(\lfloor \sqrt{x} \rfloor\)，而 mid 的值大於 \(x\)，則 mid-1 即是答案。而按照分支條件，執行 right = mid - 1，可知 right 的值正是應返回的值。此時，循環結束，應返回 right。
3. mid <= x / mid。這種情況下，mid、left 和 right 正是計算答案（右邊的值都大於 \(\lfloor \sqrt{x} \rfloor\)）。按照分支條件，執行 left = mid + 1，循環結束。此時，mid 和 right 的值為計算結果。

綜合上面三點可知，如果 while 循環結束，則 right 保存的值一定是計算結果。

和之前的暴力法相比，使用二分查找的思想求解 sqrt(x)，只需要循環遍歷 \(O(\lg{\frac{x}{2}})\) 次；空間復雜度為 \(O(1)\)。

2. 牛頓—拉弗森迭代法

牛頓—拉弗森迭代法（簡稱牛頓法）使用以直代曲的思想，是一種求解函數的方法，不僅僅適用於求解開方計算。當然使用牛頓法求解函數也存在很多坑，但對於求解開方而言，牛頓法是安全的。關於這一方法，你需要掌握一定的高等數學知識，想了解詳細的內容，可以參考鏈接：如何通俗易懂地講解牛頓迭代法求開方？數值分析？—馬同學的回答

簡單的理解，可以參考圖片：

圖片來源：牛頓法與擬牛頓法

給定任意一個非負整數 \(n\)，我們想要找到一個 \(x = \lfloor \sqrt{n} \rfloor\)，這相當於我們要計算函數 \(f(x) = x^2 - n\) 的根。我們首先需要先給出一個猜測值 \(x_0\)，不妨令 \(x_0 = \frac{x}{2} + 1\)（證明見第一小節），然后在 \(f(x_0)\) 處作函數的切線，切線與 \(x\) 軸的交點，即為一次迭代后的值 \(x_1\)。若 \(x_1\) 不是要得到的結果，則繼續迭代，在 \(f(x_1)\) 處作函數的切線，切線與 \(x\) 軸的交點，即為第二次迭代后的值 \(x_2\)。以此類推，直到得到 \(x_n = \lfloor \sqrt{n} \rfloor\)。

現在我們來推導迭代式。對於 \(x_i\)，其函數值為 \(f(x_i)\)，則對於點 \((x_i, f(x_i))\)，可得其切線方程：

\[\begin{align} &y - f(x_i) = f(x_i)^\prime(x - x_i) \\[2ex] \implies &y - (x_i^2 - n) = 2x_i(x - x_i) \\[2ex] \implies &y + x_i^2 + n = 2x_ix \end{align} \]

又因為 \(x_{i+1}\) 為切線與 \(x\) 軸的交點，所以令 \(y=0\)，可得：

\[x_{i+1} = (x_i + n / x_i) / 2 \]

現在，我們就可以根據迭代式編寫代碼了：

int sqrt(int x)
{
    // 避免除零錯誤，單獨處理 x = 0 的情況
    if (x == 0)
        return x;
    int t = x / 2 + 1;
    while (t > x / t)
        t = (t + x / t) / 2;
    return t;
}

為了確保算法是正確的，我們還需要一些額外的證明。首先，證明迭代式是單調遞減的：

\[x_{i+1} - x_i = \left\lfloor \frac{1}{2} (x_i + \frac{n}{x_i}) \right\rfloor - x_i = \left\lfloor \frac{1}{2} (\frac{n}{x_i} - x_i) \right\rfloor \]

可知，在區間 \([\sqrt{x}, +\infty)\) 上，\(x_{i+1} - x_i < 0\)。

然后，我們還要證明迭代式是可以收斂到 \(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\) 的：

\[x_{i+1} = \left\lfloor \frac{1}{2} \left( x_i + \left\lfloor \frac{n}{x_i} \right\rfloor \right) \right\rfloor = \left \lfloor \frac{1}{2} (x_i + \frac{n}{x_i}) \right \rfloor \geq \left \lfloor \frac{1}{2} \times 2 \times \sqrt{x_i \cdot \frac{n}{x_i}} \right \rfloor = \lfloor \sqrt{n} \rfloor \]

因此，當 while 循環結束時，我們可以得到正確的答案。

關於牛頓法求 sqrt(x) 的時間復雜度，筆者目前也沒有搞清楚，有了解的童鞋歡迎交流~。不過通過查詢資料，以及實際測試，可知牛頓法的時間效率優於二分搜索法。