[譯]如何使用Python構建指數平滑模型:Simple Exponential Smoothing, Holt, and Holt-Winters

原文連接：How to Build Exponential Smoothing Models Using Python: Simple Exponential Smoothing, Holt, and…

今年前12個月，iPhone XS將售出多少部?在埃隆·馬斯克(Elon musk)在直播節目中吸食大麻之后，特斯拉的需求趨勢是什么?這個冬天會暖和嗎?(我住在加拿大。)如果你對這些問題感到好奇，指數平滑法可以通過建立模型來預測未來。

指數平滑方法為過去的觀測分配指數遞減的權重。得到的觀測值越近，權重就越大。例如，與12個月前的觀測結果相比，對上個月的觀測結果給予更大的權重是合理的。

上圖為指數平滑權值從過去到現在。

本文將說明如何使用Python和Statsmodel構建簡單指數平滑、Holt和Holt- winters模型。對於每個模型，演示都按照以下方式組織。

模型操作方法+Python代碼

Statsmodels是一個Python模塊，它為實現許多不同的統計模型提供了類和函數。我們需要將它導入Python代碼，如下所示。

import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.holtwinters import ExponentialSmoothing, SimpleExpSmoothing, Holt

我們示例中的源數據如下：

data = [253993,275396.2,315229.5,356949.6,400158.2,442431.7,495102.9,570164.8,640993.1,704250.4,767455.4,781807.8,776332.3,794161.7,834177.7,931651.5,1028390,1114914]

我們可以先看看折線圖

plt.plot(data);

簡單指數平滑(SES)

對於沒有明顯趨勢或季節規律的預測數據，SES是一個很好的選擇。預測是使用加權平均來計算的，這意味着最大的權重與最近的觀測值相關，而最小的權重與最遠的觀測值相關

其中0≤α≤1是平滑參數。

權重減小率由平滑參數α控制。 如果α很大（即接近1），則對更近期的觀察給予更多權重。 有兩種極端情況：

• α= 0：所有未來值的預測等於歷史數據的平均值（或“平均值”），稱為平均值法。
• α= 1：簡單地將所有預測設置為最后一次觀測的值，統計中稱為朴素方法。

這里我們運行三種簡單指數平滑變體：

1. 在fit1中，我們明確地為模型提供了平滑參數\(α= 0.2\)
2. 在fit2中，我們選擇\(α= 0.6\)
3. 在fit3中，我們使用自動優化，允許statsmodels自動為我們找到優化值。 這是推薦的方法。

# Simple Exponential Smoothing
fit1 = SimpleExpSmoothing(data).fit(smoothing_level=0.2,optimized=False)
# plot
l1, = plt.plot(list(fit1.fittedvalues) + list(fit1.forecast(5)), marker='o')


fit2 = SimpleExpSmoothing(data).fit(smoothing_level=0.6,optimized=False)
# plot
l2, = plt.plot(list(fit2.fittedvalues) + list(fit2.forecast(5)), marker='o')


fit3 = SimpleExpSmoothing(data).fit()
# plot
l3, = plt.plot(list(fit3.fittedvalues) + list(fit3.forecast(5)), marker='o')

l4, = plt.plot(data, marker='o')
plt.legend(handles = [l1, l2, l3, l4], labels = ['a=0.2', 'a=0.6', 'auto', 'data'], loc = 'best', prop={'size': 7})
plt.show()

我們預測了未來五個點。

Holt's 方法(二次指數平滑)

Holt擴展了簡單的指數平滑（數據解決方案沒有明確的趨勢或季節性），以便在1957年預測數據趨勢.Holt的方法包括預測方程和兩個平滑方程（一個用於水平，一個用於趨勢）：

其中\(0≤α≤1\)是水平平滑參數，\(0≤β*≤1\)是趨勢平滑參數。

對於長期預測，使用Holt方法的預測在未來會無限期地增加或減少。 在這種情況下，我們使用具有阻尼參數\(0 <φ<1\)的阻尼趨勢方法來防止預測“失控”。

同樣，這里我們運行Halt方法的三種變體：

1. 在fit1中，我們明確地為模型提供了平滑參數\(α= 0.8\)，\(β* = 0.2\)。
2. 在fit2中，我們使用指數模型而不是Holt的加法模型（默認值）。
3. 在fit3中，我們使用阻尼版本的Holt附加模型，但允許優化阻尼參數\(φ\)，同時固定\(α= 0.8\)，\(β* = 0.2\)的值。

data_sr = pd.Series(data)
# Holt’s Method
fit1 = Holt(data_sr).fit(smoothing_level=0.8, smoothing_slope=0.2, optimized=False)
l1, = plt.plot(list(fit1.fittedvalues) + list(fit1.forecast(5)), marker='^')

fit2 = Holt(data_sr, exponential=True).fit(smoothing_level=0.8, smoothing_slope=0.2, optimized=False)
l2, = plt.plot(list(fit2.fittedvalues) + list(fit2.forecast(5)), marker='.')

fit3 = Holt(data_sr, damped=True).fit(smoothing_level=0.8, smoothing_slope=0.2)
l3, = plt.plot(list(fit3.fittedvalues) + list(fit3.forecast(5)), marker='.')

l4, = plt.plot(data_sr, marker='.')
plt.legend(handles = [l1, l2, l3, l4], labels = ["Holt's linear trend", "Exponential trend", "Additive damped trend", 'data'], loc = 'best', prop={'size': 7})
plt.show()

Holt-Winters 方法(三次指數平滑)

(彼得·溫特斯(Peter Winters)是霍爾特(Holt)的學生。霍爾特-溫特斯法最初是由彼得提出的，后來他們一起研究。多么美好而偉大的結合啊。就像柏拉圖遇到蘇格拉底一樣。)

Holt-Winters的方法適用於具有趨勢和季節性的數據，其包括季節性平滑參數\(γ\)。 此方法有兩種變體：

• 加法方法：整個序列的季節變化基本保持不變。
• 乘法方法：季節變化與系列水平成比例變化。

在這里，我們運行完整的Holt-Winters方法，包括趨勢組件和季節性組件。 Statsmodels允許所有組合，包括如下面的示例所示：

1. 在fit1中，我們使用加法趨勢，周期season_length = 4的加性季節和Box-Cox變換。
2. 在fit2中，我們使用加法趨勢，周期season_length = 4的乘法季節和Box-Cox變換。
3. 在fit3中，我們使用加性阻尼趨勢，周期season_length = 4的加性季節和Box-Cox變換。
4. 在fit4中，我們使用加性阻尼趨勢，周期season_length = 4的乘法季節和Box-Cox變換。

data_sr = pd.Series(data)
fit1 = ExponentialSmoothing(data_sr, seasonal_periods=4, trend='add', seasonal='add').fit(use_boxcox=True)
fit2 = ExponentialSmoothing(data_sr, seasonal_periods=4, trend='add', seasonal='mul').fit(use_boxcox=True)
fit3 = ExponentialSmoothing(data_sr, seasonal_periods=4, trend='add', seasonal='add', damped=True).fit(use_boxcox=True)
fit4 = ExponentialSmoothing(data_sr, seasonal_periods=4, trend='add', seasonal='mul', damped=True).fit(use_boxcox=True)

l1, = plt.plot(list(fit1.fittedvalues) + list(fit1.forecast(5)), marker='^')
l2, = plt.plot(list(fit2.fittedvalues) + list(fit2.forecast(5)), marker='*')
l3, = plt.plot(list(fit3.fittedvalues) + list(fit3.forecast(5)), marker='.')
l4, = plt.plot(list(fit4.fittedvalues) + list(fit4.forecast(5)), marker='.')

l5, = plt.plot(data, marker='.')
plt.legend(handles = [l1, l2, l3, l4, l5], labels = ["aa", "am", "aa damped", "am damped","data"], loc = 'best', prop={'size': 7})

plt.show()

總而言之，我們通過3個指數平滑模型的機制和python代碼。 如下表所示，我提供了一種為數據集選擇合適模型的方法。

總結了指數平滑方法中不同分量形式的平滑參數。

指數平滑是當今行業中應用最廣泛、最成功的預測方法之一。如何預測零售額、游客數量、電力需求或收入增長？指數平滑是你需要展現未來的超能力之一。