1 指數平滑法
移動平均模型在解決時間序列問題上簡單有效，但它們的計算比較難，因為不能通過之前的計算結果推算出加權移動平均值。此外，移動平均法不能很好的處理數據集邊緣的數據變化，也不能應用於現有數據集的范圍之外。因此，移動平均法的預測效果相對較差。
指數平滑法(exponential smoothing)是一種簡單的計算方案，可以有效的避免上述問題。按照模型參數的不同，指數平滑的形式可以分為一次指數平滑法、二次指數平滑法、三次指數平滑法。其中一次指數平滑法針對沒有趨勢和季節性的序列，二次指數平滑法針對有趨勢但是沒有季節特性的時間序列，三次指數平滑法則可以預測具有趨勢和季節性的時間序列。術語“Holt-Winter”指的是三次指數平滑。
2 Holt-Winter分類
Holt-Winter指數平滑法按照季節性分量的計算方式不同，可以分為累加式季節性分量和累乘式季節性分量。兩種不同的分量對應的時間序列計算等式和預測公式均不同，稍后我們會詳細介紹。
3 一次指數平滑法
指數平滑法是一種結合當前信息和過去信息的方法，新舊信息的權重由一個可調整的參數控制，各種變形的區別之處在於其“混合”的過去信息量的多少和參數的個數。
常見的有單指數平滑、雙指數平滑。它們都只有一個加權因子，但是雙指數平滑使用相同的參數將但指數平滑進行兩次，適用於有線性趨勢的序列。單指數平滑實質上就是自適應預期模型，適用於序列值在一個常數均值上下隨機波動的情況，無趨勢及季節要素的情況，單指數平滑的預測對所有未來的觀測值都是常數。
一次指數平滑的遞推關系公式：
其中，s_i是第i步經過平滑的值，x_i是這個時間的實際數據。alpha是加權因子，取值范圍為[0,1]，它控制着新舊信息之間的權重平衡。當alpha接近1時，我們就只保留當前數據點(即完全沒有對序列做平滑操作)，當alpha接近0時，我們只保留前面的平滑值，整個曲線是一條水平的直線。在該方法中，越早的平滑值作用越小，從這個角度看，指數平滑法像擁有無限記憶且權值呈指數級遞減的移動平均法。
一次指數平滑法的預測公式為：
因此，一次指數平滑法得到的預測結果在任何時候都是一條直線。並不適合於具有總體趨勢的時間序列，如果用來處理有總體趨勢的序列，平滑值將滯后於原始數據，除非alpha的值非常接近1，但這樣使得序列不夠平滑。
4 二次指數平滑法
二次指數平滑法保留了平滑信息和趨勢信息，使得模型可以預測具有趨勢的時間序列。二次指數平滑法有兩個等式和兩個參數：
t_i代表平滑后的趨勢，當前趨勢的未平滑值是當前平滑值s_i和上一個平滑值s_{i-1}的差。s_i為當前平滑值，是在一次指數平滑基礎上加入了上一步的趨勢信息t_{i-1}。利用這種方法做預測，就取最后的平滑值，然后每增加一個時間步長，就在該平滑值上增加一個t_{i}：
在計算的形式上這種方法與三次指數平滑法類似，因此，二次指數平滑法也被稱為無季節性的Holt-Winter平滑法。
5 Holt-Winter指數平滑法
三次指數平滑法相比二次指數平滑，增加了第三個量來描述季節性。累加式季節性對應的等式為：
累乘式季節性對應的等式為：
其中p_i為周期性的分量，代表周期的長度。x_{i+h}為模型預測的等式。
參考文獻：
[1] 時間序列挖掘-預測算法-三次指數平滑法(Holt-Winters). http://www.dataguru.cn/article-3235-1.html.
[2] R語言與數據分析之九：時間內序列--HoltWinters指數平滑法. http://blog.csdn.net/howardge/article/details/42076781.
[3] Holt-Winters原理和初始值的確定. http://www.cnblogs.com/xuanlvshu/p/5451974.html.
作者：風逝流沙
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來源：簡書
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