信號的正交分解
相關系數
\[C_{12}=\frac{\int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2(t)dt}{\int_{t_1}^{t_2}f_2^2(t)dt} \]
正交條件
\[\int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2(t)dt=0 \]
上式為
\(f_1(t)\)和\(f_2(t)\)在\(t_1\)至\(t_2\)區間內的正交條件,滿足此條件時,稱\(f_1(t)\)和\(f_2(t)\)在\(t_1\)至\(t_2\)區間內互為正交函數.
連續時間周期信號的傅氏級數
三角形式的傅氏級數
周期信號\(f(x)\)可表示為如下線性組合
\[f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos n\omega_1t+b_n\sin n\omega_1t) \]
上式是傅氏級數的三角形式,其中的\(a_0,a_n,b_n\)由如下公式定義
\[\begin{cases} a_0=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)dt\\ a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\cos n\omega_1tdt,n\\ b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\sin n\omega_1tdt,n \end{cases} \]
指數形式的傅氏級數
周期信號\(f(x)\)亦可表示為如下線性組合
\[f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n\omega_1)e^{jn\omega_1t} \]
上式是傅氏級數的指數形式,其中的\(F(n\omega_1)\)被稱為譜系數,定義如下
\[F(n\omega_1)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-jn\omega_1t}dt \]
譜系數也可表示為\(F_n\),如果寫成指數式,得\(F_n=|F_n|e^{j\varphi_n}\),說明他包含了\(n\)次諧波\(|F_n|\)和\(n\)次諧波相位\(\varphi_n\),在頻域包含了信號的所有信息.
兩種傅氏級數的關系
\[F(\pm n\omega_1)=\frac{1}{2}(a_n\mp jb_n) \]
周期矩形脈沖的頻譜和周期的關系
周期矩形脈沖的傅氏級數為
\[F_n=\frac{E\tau}{T}Sa(\frac{n\pi\tau}{T}) \]
式中\(\tau\)是每一脈沖持續時間,高度為\(E\),重復周期為\(T\).
頻譜圖的譜線出現的坐標為\(n\omega_1\),其中\(\omega_1=\frac{2\pi}{T}\)為基頻(頻譜寬度),頻譜的包絡線的第一零點為\(\omega_0=\frac{2\pi}{\tau}\).
周期越長,頻譜越密.
從原點到頻譜第一零點的寬度稱為頻寬/帶寬.
時域中信號持續時間越短,頻域中信號占有的頻帶也越寬.
一道典型例題
若已知\(f(t)=1+\sin \omega_1t+2\cos \omega_1t+\cos(2\omega_1t+\frac{\pi}{4})\),畫出其幅度頻譜和相位頻譜.
解: 根據輔助角公式\(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\arctan\frac{b}{a})\),得
\[\begin{align} f(t)&=1+\sqrt{1+2^2}\cos(\omega_1t+\arctan(2)-\frac{\pi}{2})+\cos(2\omega_1t+\frac{\pi}{4})\notag\\ &=1+\sqrt{5}\cos(\omega_1t-0.148\pi)+\cos(2\omega_1t+\frac{\pi}{4}) \tag{*} \end{align} \]
便可以通過\((*)\)式畫出直流量,一次諧波和二次諧波的幅度譜和相位譜.
也可直接轉化為指數形式,得
\[\begin{align} f(t)&=1+\frac{1}{2j}(e^{j\omega_1t}-e^{-j\omega_1t})+(e^{j\omega_1t}+e^{-j\omega_1t})+\frac{1}{2}(e^{j(2\omega_1t+\frac{\pi}{4})}-e^{-j(2\omega_1t+\frac{\pi}{4})})\notag\\ &=1+(1+\frac{1}{2j})e^{j\omega_1t}+(1-\frac{1}{2j})e^{j\omega_1t}+(\frac{1}{2}e^{\frac{j\pi}{4}})e^{j2\omega_1t}+(\frac{1}{2}e^{-\frac{j\pi}{4}})e^{j2\omega_1t}\notag\\ &=\sum_{n=-2}^{2}F_ne^{jn\omega_1t}\notag \end{align} \]
譜系數分別為
\[\begin{cases} \begin{align} F_0&=1=1\cdot e^{j\cdot 0}\notag\\ F_1&=1+\frac{1}{2j}=1-\frac{j}{2}=1.12e^{-j0.148\pi}\notag\\ F_2&=\frac{1}{2}e^{\frac{j\pi}{4}}=0.5e^{j0.25\pi}\notag\\ F_{-1}&=1-\frac{1}{2j}=1+\frac{j}{2}=1.12e^{j0.148\pi}\notag\\ F_{-2}&=\frac{1}{2}e^{-\frac{j\pi}{4}}=0.5e^{-j0.25\pi}\notag \end{align} \end{cases}\tag{**} \]
便可以通過\((**)\)式畫出直流量,一次諧波和二次諧波的幅度譜和相位譜.
傅氏級數的性質
時移性質
\[f(t-t_0)\leftrightarrow F_ne^{-jn\omega_1t_0} \]
微分性質
\[f^{'}(t)\leftrightarrow (jn\omega_1)F_n \]
對稱性質
偶函數
\[\begin{align} b_n&=0\notag\\ \varphi_n&=0\notag \end{align} \]
奇函數
\[\begin{align} a_0&=a_n=0\notag\\ \varphi_n&=-\frac{\pi}{2}\notag \end{align} \]
奇諧函數
\[\begin{align} a_0&=0\notag\\ a_n&=b_n=0,\text{n is even}\notag \end{align} \]
偶諧函數
\[a_n=b_n=0,\text{n is odd} \]
連續時間非周期信號的傅氏變換
傅氏變換
非周期信號\(f(t)\)的傅氏變換為
\[f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega \]
其中\(f(\omega)\)稱為頻譜函數,定義為
\[F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt \]
上兩式構成一對變換對\(f(t)\leftrightarrow F(\omega)\).
傅氏變換存在的充分條件為絕對可積條件,即
\[\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|dt=\text{finite value} \]
典型非周期信號的傅氏變換
矩形脈沖信號(門函數)
\[\begin{align} f(t)&=G_\tau(t)=u(t+\frac{\tau}{2})-u(t-\frac{\tau}{2})\notag\\ F(\omega)&=\tau\text{Sa}(\frac{\omega\tau}{2})\notag \end{align} \]
單邊指數信號
\[\begin{align} f(t)&=e^{-\alpha t}u(t)\notag\\ F(\omega)&=\frac{1}{\alpha+j\omega}=\frac{1}{\sqrt{\alpha^2+\omega^2}}e^{-j\arctan(\frac{\omega}{\alpha})}\notag \end{align} \]
要注意是單邊,時域中必須要有\(u(t)\)項,不然不滿足此公式.
高斯脈沖信號
\[\begin{align} f(t)&=e^{-(at)^2}\notag\\ F(\omega)&=\frac{\sqrt{\pi}}{a}e^{-(\frac{\omega}{2a})^2}\notag \end{align} \]
直流信號
\[\begin{align} f(t)&=1\notag\\ F(\omega)&=2\pi\delta(\omega)\notag \end{align} \]
符號函數
\[\begin{align} f(t)&=\text{sgn}(t)=\begin{cases}1,t>0\\-1,t<0\end{cases}\notag\\ F(\omega)&=\frac{2}{j\omega}\notag \end{align} \]
單位沖激信號
\[\begin{align} f(t)&=\delta(t)\notag\\ F(\omega)&=1\notag \end{align} \]
沖激偶信號
\[\begin{align} f(t)&=\delta^{'}(t)\notag\\ F(\omega)&=j\omega\notag \end{align} \]
抽樣信號
\[\begin{align} f(t)&=\text{Sa}(\omega_0t)\notag\\ F(\omega)&=\frac{\pi}{\omega_0}G_{2\omega_0}(\omega)=\frac{\pi}{\omega_0}[u(\omega+\omega_0)-u(\omega-\omega_0)]\notag \end{align} \]
三角脈沖信號
寬度為\(\tau\),高度為\(E\).
\[\begin{align}f(t)&=\begin{cases}\frac{2E}{\tau}t+E,-\frac{\tau}{2}<t<0\notag\\-\frac{2E}{\tau}t+E,0<t<\frac{\tau}{2}\notag\end{cases}\\F(\omega)&=\frac{E\tau}{2}\text{Sa}^2(\frac{\omega\tau}{4})\notag\end{align} \]
傅氏變換的性質
對稱性
若滿足
\[f(t)\leftrightarrow F(\omega) \]
則有
\[F(t)\leftrightarrow 2\pi f(-\omega) \]
若\(f(t)\)是偶函數,則有
\[F(t)\leftrightarrow 2\pi f(\omega) \]
此性質的意義為若一個時間函數\(F(\omega)\)和偶函數\(f(t)\)的頻譜函數\(F(\omega)\)形式相同,那么\(F(t)\)的頻譜函數與偶函數\(f(t)\)形式相同,但是差一個系數\(2\pi\).
時移特性
\[f(t-t_0)\leftrightarrow F(\omega)e^{-j\omega t_0} \]
尺度變換特性
\[f(at)\leftrightarrow \frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a}) \]
一般的,有
\[f(at+b)\leftrightarrow \frac{1}{|a|}e^{j\omega(\frac{b}{a})}F(\frac{\omega}{a}) \]
頻移特性
\[f(t)e^{j\omega_0t}\leftrightarrow F(\omega-\omega_0) \]
此性質的意義是在時域乘以虛數因子\(e^{j\omega_1t}\)相當於在頻域右移\(\omega_0\).
通過此性質可迅速得出虛指數信號\(e^{j\omega_0t}\)的傅氏變換
\[e^{j\omega_0t}\leftrightarrow2\pi\delta(\omega-\omega_0) \]
時域微分特性
\[f^{(n)}(t)\leftrightarrow (j\omega)^nF(\omega) \]
頻域微分特性
\[(-jt)^nf(t)\leftrightarrow F^{(n)}(\omega) \]
特殊的,有
\[tf(t)\leftrightarrow jF^{'}(\omega) \]
此式更常用.
在時域中信號乘以\(t\)或者\(t^n\)要迅速想到套用該公式.
時域積分特性
如果在\(\omega=0\)時,\(F(0)=0\)或者\(\frac{F(\omega)}{\omega}\)有界,則有
\[\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau\leftrightarrow \frac{F(\omega)}{j\omega} \]
如果在\(\omega=0\)時,\(F(0)\ne0\),則有
\[\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau\leftrightarrow\pi F(0)\delta(\omega)+\frac{F(\omega)}{j\omega} \]
卷積定理
\[\begin{align} f_1(t)*f_2(t)&\leftrightarrow F_1(\omega)F_2(\omega)\notag\\ f_1(t)f_2(t)&\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}F_1(\omega)*F_2(\omega)\notag \end{align} \]
卷積定理是通信與信號處理領域應用最廣泛的傅氏變換性質.
帕塞瓦爾定理
周期信號\(f(t)\)的平均功率與傅氏系數的關系為
\[P=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|F_n|^2 \]
這表示信號的平均功率等於傅氏級數各次諧波分量有效值的平方和,時域和頻域的能量是守恆的.
\[\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^2d\omega\notag\\ \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt&=\int_{-\infty}^{\infty}|F(f)|^2df\notag \end{align} \]
上式即為帕塞瓦爾定理,說明信號經過傅氏變換,信號的能量不變,符合能量守恆定律.注意系數\(\frac{1}{2\pi}\).
信號的功率和能量
\[\begin{align} E&=\lim_{T\rightarrow\infty}\int_{-T}^{T}|f(t)|^2dt\notag\\ P&=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|f(t)|^2dt\notag \end{align} \]
周期函數的傅氏變換
表達式
設一周期信號的周期為\(T_1=\frac{2\pi}{\omega_1}\),則其傅氏變換為
\[F_T(\omega)=2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n\omega_1)\delta(\omega-n\omega_1) \]
其中
\[F(n\omega_1)=\frac{1}{T_1}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jn\omega_1t}dt \]
通過脈沖求周期信號的傅氏變換
設脈沖信號為\(f_0(t)\),其傅氏變換為\(F_0(\omega)\),即
\[f_0(t)\leftrightarrow F_0(\omega) \]
則由此脈沖信號組成的周期信號的傅氏變換滿足以下關系
\[F(n\omega_1)=\frac{1}{T_1}F_0(\omega)|_{\omega=n\omega_1} \]
再代入下式即可
\[F(\omega)=2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n\omega_1)\delta(\omega-n\omega_1) \]
沖激序列
\[\delta_{t_0}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{jn\omega_0t} \]
\[\delta_{t_0}\leftrightarrow \omega_0\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_0) \]
正弦/余弦函數
\[\begin{align} sin(\omega_0t)&\leftrightarrow -j\pi[\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)]\notag\\ cos(\omega_0t)&\leftrightarrow \pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]\notag \end{align} \]
抽樣
理想抽樣
使用單位沖激序列進行抽樣,由於單位沖激序列的傅氏變換為
\[P(\omega)=\omega_1\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_1) \]
式中\(T_s\)為脈沖間隔.所以有
\[F_s(\omega)=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(\omega-n\omega_1) \]
矩形脈沖抽樣
使用矩形脈沖抽樣,由於矩形脈沖的傅氏變換為
\[P(\omega)=\frac{E\tau}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\text{Sa}(\frac{n\omega_s\tau}{2})e^{jn\omega_st} \]
所以有
\[F_s(\omega)=\frac{E\tau}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\text{Sa}(\frac{n\omega_s\tau}{2})F(\omega-n\omega_s) \]
抽樣定理
對於一個時間信號,其帶寬最高頻為\(\omega_m\)或\(f_m\),則將最低允許的抽樣頻率
\[f_s=2f_m \]
稱為麥奎斯特抽樣頻率.
將最大允許的抽樣間隔
\[T_s=\frac{1}{2f_m}=\frac{\pi}{\omega_m} \]
稱為麥奎斯特抽樣間隔.
