信号的正交分解
相关系数
\[C_{12}=\frac{\int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2(t)dt}{\int_{t_1}^{t_2}f_2^2(t)dt} \]
正交条件
\[\int_{t_1}^{t_2}f_1(t)f_2(t)dt=0 \]
上式为
\(f_1(t)\)和\(f_2(t)\)在\(t_1\)至\(t_2\)区间内的正交条件,满足此条件时,称\(f_1(t)\)和\(f_2(t)\)在\(t_1\)至\(t_2\)区间内互为正交函数.
连续时间周期信号的傅氏级数
三角形式的傅氏级数
周期信号\(f(x)\)可表示为如下线性组合
\[f(x)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos n\omega_1t+b_n\sin n\omega_1t) \]
上式是傅氏级数的三角形式,其中的\(a_0,a_n,b_n\)由如下公式定义
\[\begin{cases} a_0=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)dt\\ a_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\cos n\omega_1tdt,n\\ b_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{T}f(t)\sin n\omega_1tdt,n \end{cases} \]
指数形式的傅氏级数
周期信号\(f(x)\)亦可表示为如下线性组合
\[f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n\omega_1)e^{jn\omega_1t} \]
上式是傅氏级数的指数形式,其中的\(F(n\omega_1)\)被称为谱系数,定义如下
\[F(n\omega_1)=\frac{1}{T}\int_{0}^{T}f(t)e^{-jn\omega_1t}dt \]
谱系数也可表示为\(F_n\),如果写成指数式,得\(F_n=|F_n|e^{j\varphi_n}\),说明他包含了\(n\)次谐波\(|F_n|\)和\(n\)次谐波相位\(\varphi_n\),在频域包含了信号的所有信息.
两种傅氏级数的关系
\[F(\pm n\omega_1)=\frac{1}{2}(a_n\mp jb_n) \]
周期矩形脉冲的频谱和周期的关系
周期矩形脉冲的傅氏级数为
\[F_n=\frac{E\tau}{T}Sa(\frac{n\pi\tau}{T}) \]
式中\(\tau\)是每一脉冲持续时间,高度为\(E\),重复周期为\(T\).
频谱图的谱线出现的坐标为\(n\omega_1\),其中\(\omega_1=\frac{2\pi}{T}\)为基频(频谱宽度),频谱的包络线的第一零点为\(\omega_0=\frac{2\pi}{\tau}\).
周期越长,频谱越密.
从原点到频谱第一零点的宽度称为频宽/带宽.
时域中信号持续时间越短,频域中信号占有的频带也越宽.
一道典型例题
若已知\(f(t)=1+\sin \omega_1t+2\cos \omega_1t+\cos(2\omega_1t+\frac{\pi}{4})\),画出其幅度频谱和相位频谱.
解: 根据辅助角公式\(a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\arctan\frac{b}{a})\),得
\[\begin{align} f(t)&=1+\sqrt{1+2^2}\cos(\omega_1t+\arctan(2)-\frac{\pi}{2})+\cos(2\omega_1t+\frac{\pi}{4})\notag\\ &=1+\sqrt{5}\cos(\omega_1t-0.148\pi)+\cos(2\omega_1t+\frac{\pi}{4}) \tag{*} \end{align} \]
便可以通过\((*)\)式画出直流量,一次谐波和二次谐波的幅度谱和相位谱.
也可直接转化为指数形式,得
\[\begin{align} f(t)&=1+\frac{1}{2j}(e^{j\omega_1t}-e^{-j\omega_1t})+(e^{j\omega_1t}+e^{-j\omega_1t})+\frac{1}{2}(e^{j(2\omega_1t+\frac{\pi}{4})}-e^{-j(2\omega_1t+\frac{\pi}{4})})\notag\\ &=1+(1+\frac{1}{2j})e^{j\omega_1t}+(1-\frac{1}{2j})e^{j\omega_1t}+(\frac{1}{2}e^{\frac{j\pi}{4}})e^{j2\omega_1t}+(\frac{1}{2}e^{-\frac{j\pi}{4}})e^{j2\omega_1t}\notag\\ &=\sum_{n=-2}^{2}F_ne^{jn\omega_1t}\notag \end{align} \]
谱系数分别为
\[\begin{cases} \begin{align} F_0&=1=1\cdot e^{j\cdot 0}\notag\\ F_1&=1+\frac{1}{2j}=1-\frac{j}{2}=1.12e^{-j0.148\pi}\notag\\ F_2&=\frac{1}{2}e^{\frac{j\pi}{4}}=0.5e^{j0.25\pi}\notag\\ F_{-1}&=1-\frac{1}{2j}=1+\frac{j}{2}=1.12e^{j0.148\pi}\notag\\ F_{-2}&=\frac{1}{2}e^{-\frac{j\pi}{4}}=0.5e^{-j0.25\pi}\notag \end{align} \end{cases}\tag{**} \]
便可以通过\((**)\)式画出直流量,一次谐波和二次谐波的幅度谱和相位谱.
傅氏级数的性质
时移性质
\[f(t-t_0)\leftrightarrow F_ne^{-jn\omega_1t_0} \]
微分性质
\[f^{'}(t)\leftrightarrow (jn\omega_1)F_n \]
对称性质
偶函数
\[\begin{align} b_n&=0\notag\\ \varphi_n&=0\notag \end{align} \]
奇函数
\[\begin{align} a_0&=a_n=0\notag\\ \varphi_n&=-\frac{\pi}{2}\notag \end{align} \]
奇谐函数
\[\begin{align} a_0&=0\notag\\ a_n&=b_n=0,\text{n is even}\notag \end{align} \]
偶谐函数
\[a_n=b_n=0,\text{n is odd} \]
连续时间非周期信号的傅氏变换
傅氏变换
非周期信号\(f(t)\)的傅氏变换为
\[f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega \]
其中\(f(\omega)\)称为频谱函数,定义为
\[F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt \]
上两式构成一对变换对\(f(t)\leftrightarrow F(\omega)\).
傅氏变换存在的充分条件为绝对可积条件,即
\[\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|dt=\text{finite value} \]
典型非周期信号的傅氏变换
矩形脉冲信号(门函数)
\[\begin{align} f(t)&=G_\tau(t)=u(t+\frac{\tau}{2})-u(t-\frac{\tau}{2})\notag\\ F(\omega)&=\tau\text{Sa}(\frac{\omega\tau}{2})\notag \end{align} \]
单边指数信号
\[\begin{align} f(t)&=e^{-\alpha t}u(t)\notag\\ F(\omega)&=\frac{1}{\alpha+j\omega}=\frac{1}{\sqrt{\alpha^2+\omega^2}}e^{-j\arctan(\frac{\omega}{\alpha})}\notag \end{align} \]
要注意是单边,时域中必须要有\(u(t)\)项,不然不满足此公式.
高斯脉冲信号
\[\begin{align} f(t)&=e^{-(at)^2}\notag\\ F(\omega)&=\frac{\sqrt{\pi}}{a}e^{-(\frac{\omega}{2a})^2}\notag \end{align} \]
直流信号
\[\begin{align} f(t)&=1\notag\\ F(\omega)&=2\pi\delta(\omega)\notag \end{align} \]
符号函数
\[\begin{align} f(t)&=\text{sgn}(t)=\begin{cases}1,t>0\\-1,t<0\end{cases}\notag\\ F(\omega)&=\frac{2}{j\omega}\notag \end{align} \]
单位冲激信号
\[\begin{align} f(t)&=\delta(t)\notag\\ F(\omega)&=1\notag \end{align} \]
冲激偶信号
\[\begin{align} f(t)&=\delta^{'}(t)\notag\\ F(\omega)&=j\omega\notag \end{align} \]
抽样信号
\[\begin{align} f(t)&=\text{Sa}(\omega_0t)\notag\\ F(\omega)&=\frac{\pi}{\omega_0}G_{2\omega_0}(\omega)=\frac{\pi}{\omega_0}[u(\omega+\omega_0)-u(\omega-\omega_0)]\notag \end{align} \]
三角脉冲信号
宽度为\(\tau\),高度为\(E\).
\[\begin{align}f(t)&=\begin{cases}\frac{2E}{\tau}t+E,-\frac{\tau}{2}<t<0\notag\\-\frac{2E}{\tau}t+E,0<t<\frac{\tau}{2}\notag\end{cases}\\F(\omega)&=\frac{E\tau}{2}\text{Sa}^2(\frac{\omega\tau}{4})\notag\end{align} \]
傅氏变换的性质
对称性
若满足
\[f(t)\leftrightarrow F(\omega) \]
则有
\[F(t)\leftrightarrow 2\pi f(-\omega) \]
若\(f(t)\)是偶函数,则有
\[F(t)\leftrightarrow 2\pi f(\omega) \]
此性质的意义为若一个时间函数\(F(\omega)\)和偶函数\(f(t)\)的频谱函数\(F(\omega)\)形式相同,那么\(F(t)\)的频谱函数与偶函数\(f(t)\)形式相同,但是差一个系数\(2\pi\).
时移特性
\[f(t-t_0)\leftrightarrow F(\omega)e^{-j\omega t_0} \]
尺度变换特性
\[f(at)\leftrightarrow \frac{1}{|a|}F(\frac{\omega}{a}) \]
一般的,有
\[f(at+b)\leftrightarrow \frac{1}{|a|}e^{j\omega(\frac{b}{a})}F(\frac{\omega}{a}) \]
频移特性
\[f(t)e^{j\omega_0t}\leftrightarrow F(\omega-\omega_0) \]
此性质的意义是在时域乘以虚数因子\(e^{j\omega_1t}\)相当于在频域右移\(\omega_0\).
通过此性质可迅速得出虚指数信号\(e^{j\omega_0t}\)的傅氏变换
\[e^{j\omega_0t}\leftrightarrow2\pi\delta(\omega-\omega_0) \]
时域微分特性
\[f^{(n)}(t)\leftrightarrow (j\omega)^nF(\omega) \]
频域微分特性
\[(-jt)^nf(t)\leftrightarrow F^{(n)}(\omega) \]
特殊的,有
\[tf(t)\leftrightarrow jF^{'}(\omega) \]
此式更常用.
在时域中信号乘以\(t\)或者\(t^n\)要迅速想到套用该公式.
时域积分特性
如果在\(\omega=0\)时,\(F(0)=0\)或者\(\frac{F(\omega)}{\omega}\)有界,则有
\[\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau\leftrightarrow \frac{F(\omega)}{j\omega} \]
如果在\(\omega=0\)时,\(F(0)\ne0\),则有
\[\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau\leftrightarrow\pi F(0)\delta(\omega)+\frac{F(\omega)}{j\omega} \]
卷积定理
\[\begin{align} f_1(t)*f_2(t)&\leftrightarrow F_1(\omega)F_2(\omega)\notag\\ f_1(t)f_2(t)&\leftrightarrow \frac{1}{2\pi}F_1(\omega)*F_2(\omega)\notag \end{align} \]
卷积定理是通信与信号处理领域应用最广泛的傅氏变换性质.
帕塞瓦尔定理
周期信号\(f(t)\)的平均功率与傅氏系数的关系为
\[P=\sum_{n=-\infty}^{\infty}|F_n|^2 \]
这表示信号的平均功率等于傅氏级数各次谐波分量有效值的平方和,时域和频域的能量是守恒的.
\[\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^2d\omega\notag\\ \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt&=\int_{-\infty}^{\infty}|F(f)|^2df\notag \end{align} \]
上式即为帕塞瓦尔定理,说明信号经过傅氏变换,信号的能量不变,符合能量守恒定律.注意系数\(\frac{1}{2\pi}\).
信号的功率和能量
\[\begin{align} E&=\lim_{T\rightarrow\infty}\int_{-T}^{T}|f(t)|^2dt\notag\\ P&=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}|f(t)|^2dt\notag \end{align} \]
周期函数的傅氏变换
表达式
设一周期信号的周期为\(T_1=\frac{2\pi}{\omega_1}\),则其傅氏变换为
\[F_T(\omega)=2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n\omega_1)\delta(\omega-n\omega_1) \]
其中
\[F(n\omega_1)=\frac{1}{T_1}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jn\omega_1t}dt \]
通过脉冲求周期信号的傅氏变换
设脉冲信号为\(f_0(t)\),其傅氏变换为\(F_0(\omega)\),即
\[f_0(t)\leftrightarrow F_0(\omega) \]
则由此脉冲信号组成的周期信号的傅氏变换满足以下关系
\[F(n\omega_1)=\frac{1}{T_1}F_0(\omega)|_{\omega=n\omega_1} \]
再代入下式即可
\[F(\omega)=2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(n\omega_1)\delta(\omega-n\omega_1) \]
冲激序列
\[\delta_{t_0}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT)=\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{jn\omega_0t} \]
\[\delta_{t_0}\leftrightarrow \omega_0\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_0) \]
正弦/余弦函数
\[\begin{align} sin(\omega_0t)&\leftrightarrow -j\pi[\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0)]\notag\\ cos(\omega_0t)&\leftrightarrow \pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]\notag \end{align} \]
抽样
理想抽样
使用单位冲激序列进行抽样,由于单位冲激序列的傅氏变换为
\[P(\omega)=\omega_1\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\omega_1) \]
式中\(T_s\)为脉冲间隔.所以有
\[F_s(\omega)=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(\omega-n\omega_1) \]
矩形脉冲抽样
使用矩形脉冲抽样,由于矩形脉冲的傅氏变换为
\[P(\omega)=\frac{E\tau}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\text{Sa}(\frac{n\omega_s\tau}{2})e^{jn\omega_st} \]
所以有
\[F_s(\omega)=\frac{E\tau}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\text{Sa}(\frac{n\omega_s\tau}{2})F(\omega-n\omega_s) \]
抽样定理
对于一个时间信号,其带宽最高频为\(\omega_m\)或\(f_m\),则将最低允许的抽样频率
\[f_s=2f_m \]
称为麦奎斯特抽样频率.
将最大允许的抽样间隔
\[T_s=\frac{1}{2f_m}=\frac{\pi}{\omega_m} \]
称为麦奎斯特抽样间隔.
