[Codeforces 1251F]Red-White Fence

Description

題庫鏈接

給你 \(n\) 塊白木板，\(k\) 塊紅木板，分別有各自的長度 \(h_i\)。讓你用這些木板組成一段圍欄，要滿足：

1. 只用一塊紅木板，且所有白木板的長度均嚴格小於紅木板長度；
2. 紅木板左邊的白木板長度嚴格單調遞增；
3. 紅木板右邊的白木板長度嚴格單調遞減

現在給出 \(q\) 組詢問，問周長為 \(x_i\) 的圍欄有多少種。

\(1\leq n,h_i,q\leq 3\cdot 10^5,4\leq x_i\leq 12\cdot 10^5,1\leq k\leq 5\)

Solution

如果我們選的紅木板長度為 \(L\)，並且這段圍欄由 \(m\) 塊板子構成，顯然周長為 \(2\times (L+m)\)。

那么問題就轉化為了，求用 \(m-1\) 塊長度 \(<L\) 的白木板形成兩段長度嚴格單調遞增序列的方案數。

因為木板長度是離散的，我們可以考慮每種長度的木板的放法。

我們把所有長度 \(<L\) 的白木板取出。若某種長度的木板只有一塊。那么顯然，這塊木板可以放在紅木板的左邊或右邊（即任意一個序列中）。

對於某種長度有兩塊以上的時候，我們可以把他放在左邊、右邊或者兩邊都放。並且我們最多只會用 \(2\) 塊這樣的木板，所以多余的可以除去。

假設第一種情況（該長度的木板只有一塊）下的木板個數為 \(sa\)。顯然用這 \(sa\) 塊木板構成兩段序列總長度為 \(i\) 的方案數 \(a_i={sa \choose i}\times 2^i\)。

假設第二種情況下的木板個數為 \(sb\)（除去多余的木板）。用這 \(sb\) 塊木板構成兩段序列總長度為 \(i\) 的的方案數 \(b_i={sb \choose i}\)。

記兩種情況長度總和為 \(i\) 的方案數為 \(c_i\)，那么容易發現我們要求的就是

\[ c_{m-1}=\sum_{i=0}^{m-1}a_ib_{m-1-i} \]

這是一個卷積式，那么我們設

\[ \begin{aligned} A(x)&=\sum_i a_i x^i\\ B(x)&=\sum_i b_i x^i\\ C(x)&=A(x)\otimes B(x)\\ &=\sum_i c_i x^i \end{aligned} \]

那么我們就可以用 \(\text{NTT}\) 來求出選該紅木板時，對應選不同白木板個數的方案數了。

因此我們可以枚舉每個紅木板，做一次 \(\text{NTT}\) 累計到答案中，\(O(1)\) 回答詢問。

總復雜度 \(O(k\times n\log n +q)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 12e5+5, yzh = 998244353;

int n, k, q, cnt[N], x, ans[N], fac[N], ifac[N];
int A[N], B[N], a, b, L, R[N];

int quick_pow(int a, int b) {
    int ans = 1;
    while (b) {
        if (b&1) ans = 1ll*ans*a%yzh;
        b >>= 1, a = 1ll*a*a%yzh;
    }
    return ans;
}
int C(int n, int m) {return 1ll*fac[n]*ifac[m]%yzh*ifac[n-m]%yzh; }
void NTT(int *A, int o) {
    for (int i = 0; i < n; i++) if (i < R[i]) swap(A[i], A[R[i]]);
    for (int i = 1; i < n; i <<= 1) {
        int gn = quick_pow(3, (yzh-1)/(i<<1)), x, y;
        if (o == -1) gn = quick_pow(gn, yzh-2);
        for (int j = 0; j < n; j += (i<<1)) {
            int g = 1;
            for (int k = 0; k < i; k++, g = 1ll*g*gn%yzh) {
                x = A[j+k], y = 1ll*g*A[j+k+i]%yzh;
                A[j+k] = (x+y)%yzh;
                A[j+k+i] = (x-y)%yzh;
            }
        }
    }
}
int main() {
    scanf("%d%d", &n, &k);
    fac[0] = ifac[0] = ifac[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++) ifac[i] = -1ll*yzh/i*ifac[yzh%i]%yzh;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        fac[i] = 1ll*i*fac[i-1]%yzh,
        ifac[i] = 1ll*ifac[i-1]*ifac[i]%yzh;
    for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &x), cnt[x]++;
    while (k--) {
        scanf("%d", &x); a = b = 0;
        for (int i = 1; i < x; i++)
            if (cnt[i] >= 2) a += 2;
            else if (cnt[i] == 1) b++;
        memset(A, 0, sizeof(A));
        memset(B, 0, sizeof(B)); 
        for (int i = 0; i <= a; i++) A[i] = C(a, i);
        for (int i = 0; i <= b; i++) B[i] = 1ll*C(b, i)*quick_pow(2, i)%yzh;
        a += b; L = 0;
        for (n = 1; n <= a; n <<= 1) ++L;
        for (int i = 0; i < n; i++) R[i] = (R[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
        NTT(A, 1), NTT(B, 1);
        for (int i = 0; i < n; i++) A[i] = 1ll*A[i]*B[i]%yzh;
        NTT(A, -1);
        int inv = quick_pow(n, yzh-2);
        for (int i = 0; i <= a; i++) A[i] = 1ll*A[i]*inv%yzh;
        for (int i = 0; i <= a; i++) 
            (ans[(x+1+i)<<1] += A[i]) %= yzh;
    }
    scanf("%d", &q);
    while (q--) scanf("%d", &x), printf("%d\n", (ans[x]+yzh)%yzh);
    return 0;
}