數學 - 梯度 可導 可微

1. 可微定義
   1. 設函數y= f(x)，若自變量在點x的改變量Δx與函數相應的改變量Δy有關系Δy=A×Δx+ο(Δx)，其中A與Δx無關，則稱函數f(x)在點x可微，並稱AΔx為函數f(x)在點x的微分，記作dy，即dy=A×Δx，當x= x0時，則記作dy∣x=x0。
   2. 函數f是連續可微（continuously differentiable），如果導數f'(x)存在且是連續函數。
   3. Refer 1
   4. 連續可微函數被稱作classC。一個函數稱作classC如果函數的一階、二階導數存在且連續。更一般的，一個函數稱作classC如果前k階導數f′(x),f″(x), ...,f(x) 都存在且連續。如果對於所有正整數n，f存在，這個函數被稱為光滑函數或稱classC。
2. 可導定義
   1. 即設y=f(x)是一個單變量函數， 如果y在x=x0處左右導數分別存在且相等,則稱y在x=x[0]處可導。如果一個函數在x0處可導，那么它一定在x0處是連續函數
3. 可導或微區別
   1. 一元函數中可導與可微等價，它們與可積無關
      1. 在一元函數里，可導是可微的充分必要條件；
   2. 多元函數可微必可導，而反之不成立。
      1. 在多元函數里，可導是可微的必要條件，可微是可導的充分條件。
4. 偏導定義：Partial derivative
   1. 在 一元函數中， 導數就是函數的變化率。對於 二元函數研究它的“變化率”，由於 自變量多了一個，情況就要復雜的多，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x ₀,y ₀) 點處 沿不同方向的變化率
   2. 偏導數的表示符號為: ∂。偏導反映的是函數沿 坐標軸正方向的變化率
   3. x方向的偏導
      設有二元函數 z=f(x,y) ，點(x ₀,y ₀)是其 定義域D 內一點。把 y 固定在 y ₀而讓 x 在 x ₀ 有增量 △x ，相應地函數 z=f(x,y) 有增量（稱為對 x 的偏增量）△z=f(x ₀+△x,y ₀)-f(x ₀,y ₀)。
      如果 △z 與 △x 之比當 △x→0 時的 極限存在，那么此 極限值稱為函數 z=f(x,y) 在 (x ₀,y ₀)處對 x 的偏導數，記作 f' _x(x ₀,y ₀)或函數 z=f(x,y) 在(x ₀,y ₀)處對 x 的偏導數，實際上就是把 y 固定在 y ₀看成 常數后， 一元函數z=f(x,y ₀)在 x ₀處的導數
   4. 偏導數求法
      當函數 z=f(x,y) 在 (x ₀,y ₀)的兩個偏導數 f' _x(x ₀,y ₀) 與 f' _y(x ₀,y ₀)都存在時，我們稱 f(x,y) 在 (x ₀,y ₀)處可導。如果函數 f(x,y) 在域 D 的每一點均可導，那么稱函數 f(x,y) 在域 D 可導。
      此時，對應於域 D 的每一點 (x,y) ，必有一個對 x (對 y )的偏導數，因而在域 D 確定了一個新的二元函數，稱為 f(x,y) 對 x (對 y )的偏導函數。簡稱偏導數。
      按偏導數的定義，將多元函數關於一個自變量求偏導數時，就將其余的自變量看成常數，此時他的求導方法與一元函數導數的求法是一樣的。
   5. 偏導數幾何意義
      表示固定面上一點的 切線 斜率。
      偏導數 f' _x(x ₀,y ₀) 表示固定面上一點對 x 軸的切線斜率；偏導數 f' _y(x ₀,y ₀) 表示固定面上一點對 y 軸的切線斜率。
   6. 高階偏導數：如果二元函數 z=f(x,y) 的偏導數 f' _x(x,y) 與 f' _y(x,y) 仍然可導，那么這兩個偏導函數的偏導數稱為 z=f(x,y) 的二階偏導數。二元函數的二階偏導數有四個：f" _xx，f" _xy，f" _yx，f" _yy。
      注意：
      f" _xy與f" _yx的區別在於：前者是先對 x 求偏導，然后將所得的偏導函數再對 y 求偏導；后者是先對 y 求偏導再對 x 求偏導。當 f"xy 與 f"yx 都連續時， 求導的結果與先后次序無關。
5. 梯度
   1. 在向量微積分中,標量場的梯度是一個向量場.標量場中某一點上的梯度指向標量場增長最快的方向,梯度的長度是這個最大的變化率.更嚴格的說,從歐氏空間Rn到R的函數的梯度是在Rn某一點最佳的線性近似.在這個意義上,梯度是雅戈比矩陣的一個特殊情況.
      在單變量的實值函數的情況,梯度只是導數,或者,對於一個線性函數,也就是線的斜率.
      梯度一詞有時用於斜度,也就是一個曲面沿着給定方向的傾斜程度.可以通過取向量梯度和所研究的方向的點積來得到斜度.梯度的數值有時也被成為梯度.
      在二元函數的情形,設函數z=f(x,y)在平面區域D內具有一階連續偏導數,則對於每一點P(x,y)∈D,都可以定出一個向量
   2. 梯度理解
   3. 梯度提升樹