有關經典約瑟夫問題的四種解法

　　  

　　約瑟夫問題是信息學奧賽中的一類經典且重要的題型，在平常的測試中屢屢出現。

　 

　　通常題設可抽象為：一開始有 $n $個人圍成一個圈， 從 $1 $開始順時針報數， 報出 $m $的人被踢出游戲.。然后下一個人再從$ 1 $開始報數，直到只剩下一個人。

　    或者：曾經有個人在他身邊，然而現在只剩他一個人。$Who$  $are$  $you$$?$  $Who$ $am$ $I$$?$  $Why$ $am$ $I$ $here$$? $走的越來越慢，人越來越少，可終於還是只剩一個了呢。他們圍成一圈，隨機了一個人作為$1$號，然后逆時針依次編號。$1$號開始報數，報到 $1$，他走了；然后$2$號開始報數，$2$號報了$1$，$3$ 號報了$2$ ，於是$3$ 號也走了……每一輪都從上一次出局的下一個人開始報數，第 $i$輪從$1$ 報到$i$ ，報 $i$的人出局。直到只剩他一個人。卻早已不記得他自己是誰。

 

　　針對不同的數據范圍，可以存在如下幾種做法：

1. $O(nm)$

　　$O(nm)$的復雜度適用於$n,m$都在$30000$以內的情況，此類題型較少，例如“約瑟夫游戲”一題，$n,m<=30000$，由於隨着游戲的不斷進行，需要枚舉的人數越少，所以復雜度實際低於$O(nm)$。算法思路：暴力模擬即可。

　　

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std; int T,N,M; bool v[1000100]; void wk(){ memset(v,0,sizeof(v)); scanf("%d%d",&N,&M); int t=0,num=0,pos=1; while(1){ if(v[pos]){ ++pos; if(pos==N+1) pos=1; continue; } ++num; if(num==M){ if(t==N-1){ printf("%d\n",pos); return; } v[pos]=1,++t,num=0; } ++pos; if(pos==N+1) pos=1; } } int main(){ scanf("%d",&T); while(T--) wk(); return 0; }

 

2.$O(n)$

　　$O(n)$算法已經適用於大多數約瑟夫問題，讓$n<=1e7$的數據范圍可以被輕松解決，考慮以任意一人為起點，選出第$m$個人后的編號變化，設起始$id==0$，選出第$m$個人后，$id->(id+m)$，再回歸到原來的圓形，設$i$表示第$i$輪游戲，那么整體的公式即為$(id+m)$%$(n-i+1)$。倒序枚舉即可。也可以用$dp$方式實現，或者正序枚舉，將公式改變為$(id+m)$%$(i+1)$，最后答案即為$id+1$。

　　

#include<bits/stdc++.h>
#define re register
using namespace std; int T,n,ans,m; inline int read(){ re int a=0,b=1; re char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9') b=(ch=='-')?-1:1,ch=getchar(); while(ch>='0'&&ch<='9') a=(a<<3)+(a<<1)+(ch^48),ch=getchar(); return a*b; } signed main(){ T=read(); while(T--){ n=read(),m=read(),ans=0; if(m==1){printf("%d\n",n);continue;} for(re int i=n;i>=1;--i) ans=(ans+m)%(n-i+1); printf("%d\n",ans+1); } return 0; }

 

3.$O(mlogn)$

　　此類算法並不常見，但由於一些毒瘤出題人緣故，針對$n<=1e9,m<=1e5$類型的數據范圍，我們不得不采用特別的遞推方式，通過打表可以發現，保持$m$不變，$n$每加一，答案在模$n$意義下加$m$，注意：此時的$n$是一個變化的$n$，那么可以通過對$n$的遞推處理，將$O(n)$級別的枚舉，轉化為在答案值域區間上的選擇性跳躍，從而將以$n$為基礎的算法轉向以$m$為基礎的算法，可以處理該類毒瘤問題。

　　

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
#define re register
using namespace std; int t,n,m; inline int read(){ re int a=0,b=1; re char ch=getchar(); while(ch<'0'||ch>'9') b=(ch=='-')?-1:1,ch=getchar(); while(ch>='0'&&ch<='9') a=(a<<3)+(a<<1)+(ch^48),ch=getchar(); return a*b; } signed main(){ t=read(); while(t--){ n=read(),m=read(); re int now=1,ans=1,nxt; while(now<=n){ nxt=(now-ans)/(m-1); if(now+nxt>=n){ ans=ans+(n-now)*m; break; } now=now+nxt+1; ans=(ans+(nxt+1)*m-1)%now+1; } printf("%lld\n",ans); } return 0; }

 

4.$O(log_m^n)$

　　此類算法極其不常見，僅適用於$n$個人圍成一圈，從$1$號開始依次報數，當報到$m$時，報$1$、$2$、…、$m-1$的人出局，下一個人接着從$1$開始報，保證$(n-1)$是$(m-1)$的倍數，最后剩的一個人獲勝的情況。通過打表，可以發現，$f[m^a+m+1]=m$，其余的$f[n]$都滿足$f[n][n-m+1]$，不妨$ n=m^a+(m-1)*k（m^a<n≤m^{a+1}）$，則$f[n]=k*m$。時間復雜度$O(log_m^n)$

 

#include<cstdio>
using namespace std;
long long n,m;
signed main(){
    long long i;
    scanf("%lld%lld",&n,&m);
    for(i=1;i<n/m;i*=m);
    printf("%lld\n",(n-i)/(m-1)*m);
    return 0;
}

 

 

 

　　至此，通過不同的數據范圍選擇不同的算法，一般的約瑟夫問題已經可以完全解決。

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