經典的約瑟夫斯
問題描述：
有n個人圍成一圈，從1開始順序排號。從第一個人開始報數(從1~3報數)，凡報到3的人退出圈子，問最后留下的是原來的第幾號?
數組循環模擬法
const int N = 1000;
int person[N]={0};
int getJosePhus(int n,int m)
{
if (n <= 0 || m <= 0) //檢查參數的有效值
return -1;
for(int j=0;j<n;j++) //對下標為0~n-1賦值1~n
{
person[j] = j+1;
}
int leave = 0; //離開的人
int count = 0; //計數1、2、3
int index = 0; //記錄下標，超過n要取模，形成環形
while (leave<n-1) //當離開的人數比n-1少(即未退出人數大於1時，執行循環)
{
if(person[index]!=0) //i下標的人還活着，計數就+1
{
count++;
}
if(count==m) //當數到下標為m時，下標值置為0，計數器置0，離開人數+1
{
person[index] = 0;
count = 0;
leave++;
}
index++; //每次循環下標僅+1
if(index==n) //達到了數組的最大下標，取模回到開頭
{
index = index%n;
}
}
index = 0;
while (person[index]==0) //循環找出剩下最后的值未清零的那個人的數組下標
{
index++;
}
return person[index];
}
雙向鏈表模擬法
int getJosePhus(int n,int m)
{
list<int> circle;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
circle.push_back(i);
}
list<int>::iterator cur = circle.begin();
while (circle.size()>1)
{
for(int i=0;i<m-1;++i)
{
++cur;
if(cur==circle.end()) //走到end，就是頭節點的前一個結點,要跳到第一個begin頭節點
{
cur = circle.begin();
}
}
list<int>::iterator next = ++cur; //刪除數到m的人要記錄下一個人的地址,如果下一個人是end(頭節點的前一個結點),要跳到第一個begin頭節點
if(next==circle.end())
{
next = circle.begin();
}
--cur;
circle.erase(cur); //erase函數會析構此結點，在返回的時候，指向當前迭代器的下一個節點
cur = next;
}
return circle.front();
}
數學推理法
無論是用鏈表實現還是用數組實現都有一個共同點：要模擬整個游戲過程，不僅程序寫起來比較煩，而且時間復雜度高，當n，m非常大(例如上百萬，上千萬)的時候，幾乎是沒有辦法在短時間內出結果的。
如果原問題僅僅是要求出最后的勝利者的序號，而不是要讀者模擬整個過程。因此如果要追求效率，就要打破常規，實施一點數學策略。
為了討論方便，先把問題稍微改變一下，並不影響原意：
問題描述：n個人（編號0~(n-1))，從0開始報數，報到(m-1)的退出，剩下的人繼續從0開始報數。求勝利者的編號。
我們知道第一個人(編號一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1個人組成了一個新的約瑟夫環（以編號為k=m%n的人開始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2並且從k開始報0。
現在我們把他們的編號做一下轉換：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
變換后就完完全全成為了(n-1)個人報數的子問題，假如我們知道這個子問題的解：例如x是最終的勝利者，那么根據上面這個表把這個x變回去不剛好就是n個人情況的解嗎？！！變回去的公式很簡單，相信大家都可以推出來：x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)個人報數的問題的解？對，只要知道(n-2)個人的解就行了。(n-2)個人的解呢？當然是先求(n-3)的情況 ---- 這顯然就是一個倒推問題！好了，思路出來了，下面寫遞推公式：
令f[i]表示i個人玩游戲報m退出最后勝利者的編號，最后的結果自然是f[n]
遞推公式
f[1] = 0; (i = 1)
f[i] = (f[i - 1] + m) % i; (i > 1)
有了這個公式，我們要做的就是從1-n順序算出f[i]的數值，最后結果是f[n]。因為實際生活中編號總是從1開始，我們輸出f[n]+1.由於是逐級遞推，不需要保存每個f[i]，程序也是異常簡單：
int getJosePhus(int n,int m)
{
if(n<=0||m<=0)
{
return -1;
}
int last = 0;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
last = (last + m) % i;
}
return last + 1;
}