設，x,y為實數（注意：這里是實數，並不是x,y為坐標軸上的點。千萬要記住x,y是實數，實數，實數）
1. |x|>=0 ，當且僅當x=0時，才有|x|=0
2. |-x|=|x|
3. |xy|=|x|*|y|
4.a>0,|x|<a當且僅當 -a<|x|<a
5.-|x|<=x<=|x|
6.|x+y|<=|x|+|y|;
7.|x-y|>=||x|-|y||>=|x|-|y|
1-5比較好理解. 第一層理解即可。
性質6是通過性質4+5推算而來。即；
利用性質5可得
a=(-|x|<=x<=|x|);
b=(-|y|<=y<=|y|);
a+b=-(|x|+|y|)<=x+y<=|x|+y|
設：
因為|x|+|y|肯定大於0
則滿足性質4條件.進而得到性質6：|x+y|<=|x|+|y|
(書上驗證解法）
性質7是通過文章最開頭的x,y為實數定義。
即設置
x1=a,y1=b-a（(因為x,y是實數，所以這里我可以拿兩個任意數a,b，得到任意的x,y實數）
然后利用性質6，
則
（|x1+y1|<=|x1|+|y1|）=（|a+b-a|<=|a|+|b-a|）則|b|<=|a|+|b-a| 進而得到 |b|-|a|<=|b-a|
再設：x2=b,y2=a-b
（|x2+y2|<=|x2|+|y2|）=（|b+a-b|<=|b|+|a-b|）則|a|<=|b|+|a-b| 進而得到 |a|-|b|<=|a-b|，即（-(|b|-|a|)<=|b-a|）
又因為|b|-|a|<=|b-a|,-(|b|-|a|)<=|b-a|,且|b-a|>0 則滿足性質4.可得
||b|-|a||<=|b-a|
又因為性質5可得
-(|b|-|a|)<=|b|-|a|<=||b|-|a||
最終的
|b|-|a|<=||b|-|a||<=|b-a|
從而得到兩個實數的關系（a,b）
（個人驗證解法）
對於任意兩個實數x，y
因為
|x|>0
|y|>0
則|x|-|y|<=0或者|x|-|y|>=0
所以||x|-|y||>=|x|-|y|
又因為
x>=0,y>=0，則|x-y|=>||x|-|y|>=|x|-|y|
x<=0,y>=0 ,則|x-y|>=||x|-|y||>=|x|-|y|
x<=0,y=<0, 則|x-y|>=||x|-|y||>=|x|-|y|
x=>0,y=<=0,則|x-y|>=||x|-|y||>=|x|-|y|
所以對於任意數可得|x-y|>=||x|-|y||>=|x|-|y|