设，x,y为实数（注意：这里是实数，并不是x,y为坐标轴上的点。千万要记住x,y是实数，实数，实数）
1. |x|>=0 ，当且仅当x=0时，才有|x|=0
2. |-x|=|x|
3. |xy|=|x|*|y|
4.a>0,|x|<a当且仅当 -a<|x|<a
5.-|x|<=x<=|x|
6.|x+y|<=|x|+|y|;
7.|x-y|>=||x|-|y||>=|x|-|y|
1-5比较好理解. 第一层理解即可。
性质6是通过性质4+5推算而来。即；
利用性质5可得
a=(-|x|<=x<=|x|);
b=(-|y|<=y<=|y|);
a+b=-(|x|+|y|)<=x+y<=|x|+y|
设：
因为|x|+|y|肯定大于0
则满足性质4条件.进而得到性质6：|x+y|<=|x|+|y|
(书上验证解法）
性质7是通过文章最开头的x,y为实数定义。
即设置
x1=a,y1=b-a（(因为x,y是实数，所以这里我可以拿两个任意数a,b，得到任意的x,y实数）
然后利用性质6，
则
（|x1+y1|<=|x1|+|y1|）=（|a+b-a|<=|a|+|b-a|）则|b|<=|a|+|b-a| 进而得到 |b|-|a|<=|b-a|
再设：x2=b,y2=a-b
（|x2+y2|<=|x2|+|y2|）=（|b+a-b|<=|b|+|a-b|）则|a|<=|b|+|a-b| 进而得到 |a|-|b|<=|a-b|，即（-(|b|-|a|)<=|b-a|）
又因为|b|-|a|<=|b-a|,-(|b|-|a|)<=|b-a|,且|b-a|>0 则满足性质4.可得
||b|-|a||<=|b-a|
又因为性质5可得
-(|b|-|a|)<=|b|-|a|<=||b|-|a||
最终的
|b|-|a|<=||b|-|a||<=|b-a|
从而得到两个实数的关系（a,b）
（个人验证解法）
对于任意两个实数x，y
因为
|x|>0
|y|>0
则|x|-|y|<=0或者|x|-|y|>=0
所以||x|-|y||>=|x|-|y|
又因为
x>=0,y>=0，则|x-y|=>||x|-|y|>=|x|-|y|
x<=0,y>=0 ,则|x-y|>=||x|-|y||>=|x|-|y|
x<=0,y=<0, 则|x-y|>=||x|-|y||>=|x|-|y|
x=>0,y=<=0,则|x-y|>=||x|-|y||>=|x|-|y|
所以对于任意数可得|x-y|>=||x|-|y||>=|x|-|y|