[C++]哈夫曼樹(最優滿二叉樹) / 哈夫曼編碼(貪心算法)

一 哈夫曼樹

1.1 基本概念

• 算法思想
  • 貪心算法（以局部最優，謀求全局最優）
    • 適用范圍
      • 1 【(約束)可行】：它必須滿足問題的約束
      • 2 【局部最優】它是當前步驟中所有可行選擇中最佳的局部選擇
      • 3 【不可取消】選擇一旦做出，在算法的后面步驟中，就無法再改變。
    • 示例
      • 【樹論：最優（二叉）數=帶權路徑最短的樹】
        • 哈夫曼（樹）編碼
      • 【圖論：最小（代價）生成樹】
        • 普里姆算法（Prim）（加點法，歸並點）
        • 克魯斯卡爾（Kruskal）算法（加邊法，歸並邊）
      • 【圖論：單源最短路徑=從某一結點出發至其他結點的帶權路徑之和最小 / 多源最短路徑=某一對結點之間的帶權路徑之和最小】
        • 迪傑斯特拉算法（Dijskra）
• 定義
  • 哈夫曼樹 = 最優((滿)二叉)樹 = 帶權路徑之和最短的樹
  • 哈夫曼樹所產生的哈夫曼編碼 = (最優)前綴編碼
    • 一種最基本的、數據壓縮的編碼方法

1.2 算法描述/構造過程

1.3 算法實現

• 1> 定義存儲結構

# define MAXNEGATIVE -9999 //最大負值 
# define MAXPOSITIVE  9999 //最大正值 

typedef struct HuffmanNode{ // 加 typedef : 避免發生編譯錯誤 " variable or field 'functionName' declared void "
	double weight;
	int parent, lchild, rchild; //當前節點的雙親結點、左右孩子結點 
}*HuffmanTree;

• 2> 確定最小的兩個結點的選擇策略（貪婪策略）【次核心】

/**
 * 選擇權值結點最小的兩個結點 s1、s2 
 */
void Select(HuffmanTree &HT,int k,int *s1,int *s2){ 
	int min[2]={0, 0}; // 升序排名， 保留 HT中 權重值最小的兩個結點的下標 
	cout<<"Select k:"<<k<<endl;
	HT[0].weight = MAXPOSITIVE; // 初始化為最大正值，方便被 初始結點比最小而比下去 
	for(int i=1;i<=k;i++){
//		cout<<"i:"<<i<<"\tweight:"<<HT[i].weight<<"\tparent:"<<HT[i].parent<<"\tparent.weight:"<<HT[HT[i].parent].weight<<endl;
		if( HT[i].parent==0 && (HT[i].weight<HT[min[1]].weight)){
			if(HT[i].weight<HT[min[0]].weight){ // 小於 最小者 
				min[1] = min[0]; min[0] = i; cout<<i<<"小於最小者！"<<endl;
			} else {
				min[1] = i;cout<<i<<"小於次小者！"<<endl;	 //僅小於 次小者 
			}
		}
	} 
	*s1 = min[0]; // 最小者下標
	*s2 = min[1]; // 次小者下標 
//	cout<<"s1:"<<*s1<<"\ts2:"<<*s2<<endl; 
}

• 3> 創建 Huffman 樹【核心】

/**
 * 創建 Huffman 樹
 *   n : 初試結點（待編碼結點）數 
 */
void CreateHuffmanTree(HuffmanTree &HT, int n){
	int m = 2*n-1;
	HT = new HuffmanNode[m+1]; // 0 位空余
	cout<<"Please input initiative node's weight : "<<endl; // 輸入結點數據
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>HT[i].weight;
	}
	for(int k=1;k<=m;k++){ // 初始化所有結點 
		HT[k].lchild = 0;
		HT[k].rchild = 0;
		HT[k].parent = 0;
	}
	for(int j=n+1;j<=m;j++){
		int s1,s2;
		Select(HT, j-1, &s1, &s2); // 選擇權值結點最小的兩個結點s1、s2 
		HT[s1].parent = j; // 合並左右結點 
		HT[s2].parent = j; 
		HT[j].lchild = s1;
		HT[j].rchild = s2;
		HT[j].weight = HT[s1].weight + HT[s2].weight;
	}
}

• 4> 輸出哈夫曼樹

void OutputHuffmanTree(HuffmanTree &HT, int n){ // 輸出 哈夫曼樹 中 結點情況 
	int m = 2*n-1;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		cout<<"<"<<i<<"> weight: "<<HT[i].weight<<"\t"<<"parent: "<<HT[i].parent<<"(weight:"<<HT[HT[i].parent].weight<<")\t";
		cout<<"parent.lchild:"<<HT[HT[i].parent].lchild<<"(weight:"<<HT[HT[HT[i].parent].lchild].weight<<")"<<"\t";
		cout<<"parent.rchild:"<<HT[HT[i].parent].rchild<<"(weight:"<<HT[HT[HT[i].parent].rchild].weight<<")"<<endl;
	}
}

• 5> 執行：Main函數

int main(){
	HuffmanTree HT;
	int n;
	cout<<"Please input Huffman initiative Node Number:"; // 輸入哈夫曼結點初始結點數目 n
	int s1, s2;
	cin>>n; 
	CreateHuffmanTree(HT, n);
	OutputHuffmanTree(HT, n);
	return 0;
}

二 哈夫曼編碼

2.1 哈夫曼編碼的主要思想

2.2 【前綴編碼】

2.3 【哈夫曼編碼】

2.4 應用：文件的編碼與譯碼

2.5 哈夫曼編碼的算法實現 （根據哈夫曼樹，求哈夫曼編碼）

• 1> 定義存儲結構

//由於 每個哈夫曼編碼是變長編碼；因此，使用指針數組來存儲每個字符編碼串的首地址 
typedef char **HuffmanCode; // 動態分配數組，存儲哈夫曼編碼表 (char 前面不能隨意加 struct 關鍵字)

• 2> 生成哈夫曼編碼(表)（借助於哈夫曼樹）

/**
 * 根據哈夫曼樹，求哈夫曼編碼
 */
void CreateHuffmanCodeByHuffmanTree(HuffmanTree HT, HuffmanCode &HC,int n){//從葉子到根，逆向求每個字符的哈夫曼編碼	
	HC = new char *[n+1]; // 分配存儲n個字符編碼的編碼表空間 
	char *cd = new char [n]; // 分配臨時存放每個字符編碼的動態數組空間
	cd[n-1] = '\0'; // 編碼結束符 
	for(int i=1;i<=n;i++){ // 逐個字符求哈夫曼編碼 
		int start = n-1; // start 初始化指向最后位置 即 編碼結束符位置，逆向存儲 從葉子到根結點路徑的0/1編碼
		int c = i; 
		int f = HT[i].parent; // f 指向結點C 的雙親結點
		while(f!=0){ // 直到 f 滑動到根節點為止 
			--start; // 編碼表游標向前滑動
			if(HT[f].lchild == c){
				cd[start] = '0';
			} else {
				cd[start]= '1';
			}
			c = f;
			f = HT[f].parent; // 逆向， 自(樹)底向(樹)上 
		}
		HC[i] = new char [n-start]; //為第i個字符編碼分配存儲空間 
		strcpy(HC[i], &cd[start]); // 頭文件： #include <string.h> 、<stdio.h>
	}
	delete cd;
}

• 3> 輸出哈夫曼編碼(表)

void OutputHuffmanCodes(HuffmanCode &HC,int n){
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cout<<"第"<<i<<"個哈夫曼編碼:";
		for(int j=0,size=sizeof(HC[i])/sizeof(char);j<size;j++){
			cout<<HC[i][j];
		}
		cout<<endl;
	}
}

• 4> 執行：Main函數

int main(){
	HuffmanTree HT;
	int n;
	cout<<"Please input Huffman initiative Node Number:"; // 輸入哈夫曼結點初始結點數目 n
	int s1, s2;
	cin>>n; 
	CreateHuffmanTree(HT, n);
	OutputHuffmanTree(HT, n);
	
	HuffmanCode HC;
	CreateHuffmanCodeByHuffmanTree(HT, HC, n);
	OutputHuffmanCodes(HC, n);
	return 0;
}

三 哈夫曼譯(解)碼

四 文獻

4.1 參考文獻

• 《數據結構(C語言版)：嚴蔚敏/吳偉民》
• 《算法設計與分析基礎（[美] Anany Levitin. 潘彥 譯）》
  • 貪心算法思想的適用范圍

4.2 推薦文獻

• 《算法導論》實驗四：哈夫曼（Huffman）編碼問題（C++實現）

五 二叉樹 補充：紅黑樹