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寫在前面
開篇先上圖，圖為deconvolution在像素級語義分割中的一種應用，直觀感覺deconvolution是一個upsampling的過程，像是convolution的對稱過程。
本文將深入deconvolution的細節，並通過如下方式展開：
- 先回答 什么是deconvolution？為什么會有transposed convolutionon、subpixel or fractional convolution這樣的名字？
- 再介紹 各種情形下 transposed convolution是如何進行的，並提供一種統一的計算方法。
什么是deconvolution
首先要明確的是，deconvolution並不是個好名字，因為它存在歧義：
- deconvolution最初被定義為“inverse of convolution”或者“inverse filter”或者“解卷積”，是指消除先前濾波作用的方法。比如，我們認為原始圖像是清晰的，但是通過透鏡觀測到的圖像卻變得模糊，如果假設透鏡的作用相當於以某個kernel作用在原始圖像上，由此導致圖像變得模糊，那么根據模糊的圖像估計這個kernel或者根據模糊圖像恢復原始清晰圖像的過程就叫deconvolution。
- 后來論文Adaptive Deconvolutional Networks for Mid and High Level Feature Learning和Visualizing and Understanding Convolutional Networks又重新定義了deconvolution，實際上與transposed convolution、sub-pixel or fractional convolution指代相同。transposed convolution是一個更好的名字，sub-pixel or fractional convolution可以看成是transposed convolution的一個特例。對一個常規的卷積層而言，前向傳播時是convolution，將input feature map映射為output feature map，反向傳播時則是transposed convolution，根據output feature map的梯度計算出input feature map的梯度，梯度圖的尺寸與feature map的尺寸相同。
本文談論的是deconvolution的第2個含義，后面統一使用transposed convolution這個名字。
什么是transposed convolution？A guide to convolution arithmetic for deep learning中有這樣一段話：
看完好像仍不是很直觀，transposed convolution到底對應的是什么操作？等到文章的后面，這個問題的答案會逐漸清晰起來。
下面先以1個例子來對比convolution過程和transposed convolution過程，采用與A guide to convolution arithmetic for deep learning相同的設置：
- 2-D transposed convolutions (\(N=2\))
- square inputs (\(i_1=i_2=i\))
- square kernel size (\(k_1=k_2=k\))
- same strides along both axes (\(s_1=s_2=s\))
- same zero padding along both axes (\(p_1=p_2=p\))
- square outputs (\(o_1=o_2=o\))
若令\(i=4\)、\(s=1\)、\(p=0\)、\(k=3\)，輸出尺寸\(o=2\)，則convolution過程是將\(4\times 4\)的map映射為\(2\times 2\)的map，而transposed convolution過程則是將\(2\times 2\)的map映射為\(4\times 4\)的map，兩者的kernel size均為3，如下圖所示：
可以看到，convolution過程zero padding的數量與超參數\(p\)一致，但是transposed convolution實際的zero padding的數量為2，為什么會這樣？是為了保持連接方式相同，下面具體看一下。
convolution過程
先看convolution過程，連接方式 如下圖所示，綠色表示輸出，藍色表示輸入，每個綠色塊具與9個藍色塊連接。
令卷積核\(\mathbf{w} = \left(\begin{array}{ccc} {w_{0,0}} & {w_{0,1}} & {w_{0,2}} \\ {w_{1,0}} & {w_{1,2}} & {w_{1,2}} \\ {w_{2,0}} & {w_{2,1}} & {w_{2,2}} \end{array}\right)\)，為了便於理解，將卷積寫成矩陣乘法形式，令\(\mathbf{x}\)為\(4\times 4\)輸入矩陣以行優先方式拉成的長度為16的向量，\(\mathbf{y}\)為\(2\times 2\)輸出矩陣以同樣方式拉成的長度為4的向量，同時將\(\mathbf{w}\)表示成\(4\times 16\)的稀疏矩陣\(\mathbf{C}\)，
則convolution過程可以描述為\(\mathbf{C} \mathbf{x} = \mathbf{y}\)，若\(\mathbf{C}_{i,j}=0\)表示\(\mathbf{x}_j\)和\(\mathbf{y}_i\)間沒有連接。
transposed convolution過程
再看transposed convolution過程，如何將長度為4的向量\(\mathbf{y}\)映射為長度為16的向量且保持連接方式相同？只需將\(\mathbf{C}\)轉置，令\(\mathbf{C}^T \mathbf{y} = \mathbf{x}'\)，同樣地，\(\mathbf{C}^T_{j,i}=0\)表示\(\mathbf{x}'_j\)和\(\mathbf{y}_i\)間沒有連接。
此時，\(\mathbf{C}^T\)對應的卷積操作恰好相當於將kernel中心對稱，FULL zero padding，然后卷積，此時，1個藍色塊與9個綠色塊連接，且權重與Convolution過程相同
需要注意的是，transposed convolution的kernel與convolution的kernel可以有關，也可以無關，需要看應用在什么場景，
- 在特征可視化、訓練階段的反向傳播中應用的transposed convolution，並不是作為一個真正的layer存在於網絡中，其kernel與convolution共享（但要經過中心對稱后再卷積，相當於上面的 $ \mathbf{C} ^T $）。
- 在圖像分割、生成模型、decoder中使用的transposed convolution，是網絡中真實的layer，其kernel經初始化后需要通過學習獲得（所以卷積核也就無所謂中心對稱不對稱了）。
- 前向傳播為convolution/transposed convolution，則反向傳播為transposed convolution/convolution。
在上面舉的簡化的例子中，我們可以通過分析得知transposed convolution該如何進行，但是，對於更一般情況應該怎么做？
transposed convolution的計算
對於一般情況，只需把握一個宗旨：transposed convolution將output size恢復為input size且保持連接方式相同。
對於convolution過程，我們知道其output map與input map的尺寸關系如下：
若要將\(o\)恢復為\(i\)，需考慮2種情況，\(\frac{i+2p-k}{s}\)整除以及不整除，先看整除的情況。
整除的情況
如果\(\frac{i+2p-k}{s}\)可以整除，則由上式可得
因為transposed convolution也是卷積，為了符合上面卷積操作尺寸關系的數學形式，可進一步整理成
令\(i'=o+(s-1)(o-1)\)、$p'=\frac{(k-1)+(k-2p-1)}{2} = k-p-1 \(、\)s'=1\(、\)k'=k$，即transposed convolution實際卷積時使用的超參數，可以這樣理解：
-
\(i'=o+(s-1)(o-1)\)：convolution的輸出為\(o\times o\)，每行每列都是\(o\)個元素，有\(o-1\)個間隔，transposed convolution時在每個間隔處插入\(s-1\)個0，整體構成transposed convolution的input map；
-
$p'=\frac{(k-1)+(k-2p-1)}{2} = k-p-1 $：在上一步input map的基礎上再進行padding，考慮convolution常用的幾種padding情況：
- VALID：\(p=0\)，transposed convolution則需padding \(p'=k-1\)，即FULL padding
- SAME：\(p=\frac{k-1}{2}=r\)，這里考慮\(k=2r+1\)為奇數的一般情況，此時\(p'=r\)，即SAME padding
- FULL：\(p=k-1\)，則\(p'=0\)，即VALID padding
可見，convolution和transposed convolution的padding也具有某種對稱性\(p'+p=k-1\)；
-
\(k'=k\)：transposed convolution的kernel size與convolution相同；
-
\(s'=1\)：transposed convolution的stride均為1，但也可以換個角度理解，如果認為\(o\times o\)相鄰元素間的距離為1個像素，那么在間隔處插入\(s-1\)個0后（\(s > 1\)），得到的input map相鄰元素間的距離就是亞像素的（sub-pixel），所以此時也可以稱之為 sub-pixel or fractional convolution；
-
\(o'=i=\frac{i'+2p'-k'}{s'}+1\)：transposed convolution的輸出與convolution的輸入具有相同尺寸。
不整除的情況
接下來再看\(\frac{i+2p-k}{s}\)不整除的情況，此時再按上面的方式計算得到的\(o'=\frac{i'+2p'-k'}{s'}+1\)將小於\(i\)，小多少呢？不難得出少\(a = [(i+2p-k) \mod s]\)，即
為了讓\(o'=i\)，可寫成
只需在padding后，在下邊和右邊再擴展\(a\)行和列0，然后進行卷積即可。注意，因為\(s'=1\)，我們可以將\(a\)放在分母也可以放在外面，之所以放在分母，是因為convolution過程中input map下邊和右邊的\(a\)行或列中的元素可能參與了運算，即與output map間存在連接，所以在transposed convolution時，為了保持同樣的連接，最后擴展的\(a\)行和列也要參與卷積，所以放在分母。
至此，再看transposed convolution的各種情況，就很容易推算了，更多例子可參見A guide to convolution arithmetic for deep learning。
總結
最后，總結一下，
- convolution和transposed convolution互為對稱過程，存在一個convolution，就存在一個與之對應的transposed convolution，反之亦然；
- convolution是將input size的map映射為output size的map，transposed convolution是將output size的map映射為input size的map——旨在將尺寸恢復；
- 兩者均使用卷積操作，為了方便，兩者使用同樣的stride、padding、kernel size超參數，但實際執行時的操作不同，一般情況下，transposed convolution與convolution實際超參數關系為：\(i'=o+(s-1)(o-1)\)、$p'=\frac{(k-1)+(k-2p-1)}{2} = k-p-1 \(、\)s'=1\(、\)k'=k$。
- 之所以做這樣的操作，是為了保證map間的連接方式相同（權重不一定相同），權重的設置需根據應用的場景，可能通過學習得到，也可能與convolution共享（但需要中心對稱后再使用）。