什么是卷積convolution

定義

卷積是兩個變量在某范圍內相乘后求和的結果。如果卷積的變量是序列x(n)和h(n)，則卷積的結果

，

其中星號*表示卷積。

當時序n=0時，序列h(-i)是h(i)的時序i取反的結果；時序取反使得h(i)以縱軸為中心翻轉180度，所以這種相乘后求和的計算法稱為卷積和，簡稱卷積。

另外，n是使h(-i)位移的量，不同的n對應不同的卷積結果。

 

如果卷積的變量是函數x(t)和h(t)，則上述卷積(和)的計算變為積分：

，

其中p是積分變量，積分也是求和，t是使函數h(-p)位移的量，星號*表示卷積。

參考《數字信號處理》楊毅明著，p.55、p.188、p.264， 機械工業出版社2012年發行。

圖解卷積

1. 首先將兩個函數都用來表示。
2. 對其中一個函數做水平翻轉： →
3. 加上一個時間偏移量，讓 能沿着 軸滑動。
4. 讓t從-∞滑動到+∞。兩函數交會時，計算交會范圍中兩函數乘積的積分值。
   換句話說，我們是在計算一個滑動的的加權平均值。也就是使用當做加權函數，來對取加權平均值。

  最后得到的波形（未包含在此圖中）就是 f和 g的卷積。

如果f(t)是一個單位脈沖，我們得到的乘積就是g(t)本身，稱為沖激響應 。

性質

交換律 結合律 分配律 數乘結合律 其中 a為任意 實數（或 復數）。

微分定理 其中D f表示 f的 微分，如果在離散域中則是指 差分算子，包括前向差分與后向差分兩種。

 

卷積定理

卷積定理指出，函數卷積的 傅里葉變換是函數傅里葉變換的乘積。即，一個域中的卷積相當於另一個域中的乘積，例如 時域中的卷積就對應於 頻域中的乘積。

F(g(x)*f(x)) = F(g(x))F(f(x))

其中F表示的是 傅里葉變換。

這一定理對 拉普拉斯變換、 雙邊拉普拉斯變換、 Z變換、 Mellin變換和Hartley變換（參見Mellin inversion theorem）等各種傅里葉變換的變體同樣成立。

在 調和分析中還可以推廣到在局部 緊致的 阿貝爾群上定義的傅里葉變換。

利用卷積定理可以簡化卷積的運算量。

對於長度為n的序列，按照卷積的定義進行計算，需要做2N - 1組對位乘法，其計算復雜度為O(N * N)；

而利用傅里葉變換將序列變換到頻域上后，只需要一組對位乘法，利用傅里葉變換的快速算法之后，總的計算復雜度為O(N * log N)。

這一結果可以在快速乘法計算中得到應用。

 

應用

卷積在工程和數學上都有很多應用：

• 統計學中，加權的滑動平均是一種卷積。
• 概率論中，兩個統計獨立變量X與Y的和的概率密度函數是X與Y的概率密度函數的卷積。
• 聲學中，回聲可以用源聲與一個反映各種反射效應的函數的卷積表示。
• 電子工程與信號處理中，任一個線性系統的輸出都可以通過將輸入信號與系統函數（系統的沖激響應）做卷積獲得。
• 物理學中，任何一個線性系統（符合疊加原理）都存在卷積。

招展

 

卷積是一種線性運算,圖像處理中常見的mask運算都是卷積，廣泛應用於圖像濾波。Kenneth R.Castlman的《數字圖像處理》對卷積講得很詳細。

高斯變換就是用高斯函數對圖像進行卷積。高斯算子可以直接從離散 高斯函數得到：

for(i=0; i<N; i++)

{

    for(j=0; j<N; j++)

   {

      g[i*N+j]=exp(-((i-(N-1)/2)^2+(j-(N-1)/2)^2))/(2*delta^2));

      sum += g[i*N+j];

   }

}

再除以 sum 得到歸一化算子 ,N是濾波器的大小，delta自選

首先，在提到卷積之前，必須提到卷積出現的背景。

卷積是在信號與線性系統的基礎上或背景中出現的，脫離這個背景單獨談卷積是沒有任何意義的，除了那個所謂褶反公式上的數學意義和積分（或求和，離散情況下）。

信號與線性系統，討論的就是信號經過一個線性系統以后發生的變化（就是輸入 輸出 和所經過的所謂系統，這三者之間的數學關系）。所謂線性系統的含義，就是，這個所謂的系統，帶來的輸出信號與輸入信號的數學關系式之間是線性的運算關系。

因此，實際上，都是要根據我們需要待處理的信號形式，來設計所謂的系統傳遞函數，那么這個系統傳遞函數和輸入信號，在數學上的形式就是所謂的卷積關系。

卷積關系最重要的一種情況，就是在信號與線性系統或數字信號處理中的卷積定理。

利用該定理，可以將時間域或空間域中的卷積運算等價為頻率域的相乘運算，從而利用FFT等快速算法，實現有效的計算，節省運算代價。

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