模型選擇——AIC&BIC（matlab）

在建立ARMA和GARCH模型的時候，我們常常需要涉及到模型階數（如GARCH（p,q）中p和q）的選擇問題，在這里我們使用AIC和BIC兩個計算參數進行判斷：

• 什么是AIC和BIC？

兩者定義來源於信息准則：研究者通過加入模型復雜度的懲罰項來避免過擬合問題，隨后推出了兩個優選模型的准則：赤池信息准則（Akaike Information Criterion，AIC）和貝葉斯信息准則（Bayesian Information Criterion，BIC）。

AIC（赤池弘次,1974）的定義為： 

           AIC = 2*N - Ln(L)    * 這里N表示  模型參數個數  的個數，L表示模型得出的  似然函數  最優值

所以根據AIC的定義可知，當模型越復雜或者似然函數越小，AIC值越大。而我們的目標一般是選擇AIC較小的模型（即希望模型簡單，並且模型的擬合度高，其中對參數N的要求表示了我們不希望模型出現過擬合的情況）。

BIC（Schwarz,1978）的定義為：

           BIC = N*Ln(n) - Ln(L)    * 這里N表示 模型參數個數  的個數，L表示模型得出的  似然函數  最優值， n是模型中的  觀測值數量  。

從AIC模型中我們可以看到沒有考慮觀測值數量，從統計學知識中我們可以知道隨着觀測值數量的增加，誤差也可能隨之上升，所以BIC中引入了觀測值數量對模型進行判斷。同AIC，BIC也是越小越好。

• 如何通過matlab實現AIC和BIC的判斷？

 

P = 3; Q = 3; LOGL = zeros(P,Q); PQ = zeros(P,Q); n = length(Rt);
for p = 1:P
    for q = 1:Q
        Mdl = arima('ARLags',1,'Variance',garch(p,q),'Distribution','t');
        [EstMdl,EstParamCov,LogL] = estimate(Mdl,Rt); %分別返回估計模型；估計參數之間的協方差矩陣，以及對數似然函數最優值
        numParams = sum(any(EstParamCov)); %返回有多少個估計參數
        [aic(p,q),bic(p,q)] = aicbic(LogL,numParams,n);
    end
end
N = min(min(bic)); [p,q] = find(N==bic);

最后p和q就返回了我們需要的GARCH參數；當然，在這個代碼中我們用了ARLAGS=1，前提是用ARCH檢驗的時候看看AR效應(archtest)

不過好像比較簡單的做法一般都是用 AR(1)-garch(1,1)-T模型