最近有些考研的小伙伴問到我這個問題，正好也給自己梳理一下思路，畢竟在機器學習里面這4個概念也是非常重要的，不過這里由於知識所限，就只整理跟考研部分比較相關的知識點了。
既然是4種點，首先就需要將其進行大致的分類，大致來說如下。
$$ \begin {cases} 一元函數 \quad \begin {cases} 一階導數f'(x) \quad 駐點、極值點、鞍點 \\[3ex] 二階導數f''(x) \quad 拐點 \end {cases} \\[3ex] 多元函數 \quad 極值點、鞍點 \end {cases} $$
一元函數
在一元函數有3種點——駐點、極值點和拐點。要想完全理解這三個定義的話就需要從函數的性質入手，對於函數來說，與極值點相關的就是函數的極大值、極小值、最大值和最小值。因此首先可以來看極大值、極小值的定義。
(Def1 極值) 設函數$f(x)$在點$x_0$的某個鄰域$U(x_0)$內有定義，如果對於去心鄰域$\mathring{U}(x_0)$內的任意一個$x$，有$$f(x)<f(x_0) \quad (或f(x)>f(x_0))$$那么就稱$f(x_0)$是函數$f(x)$的一個極大值(極小值)。
從上述定義就可以看到，極大值和極小值其實和導數是沒有任何關系的，所以如果真的要判斷極大值和極小值的話，最為本質的方法應該是比較在待觀察點鄰域內函數值的變化情況，那么，導數在這里起到了什么作用呢？這是由極值的一個必要條件得到的。
(Thm2 極值的必要條件) 設函數$f(x)$在$x_0$處可導，且在$x=x_0$處取得極值，那么有$f'(x_0)=0$。
注意一下這個是必要條件，也就是說從可導的極值點才有導數值為0，這句話並不能用於通過導數去判斷極值，也就是充分條件。但是至少給了我們一個思考的方向，那就是當思考從導數去判斷極值的時候，我們應該要去尋找哪些點。
仔細觀察Thm2中的描述，現在我們思考它的逆否命題，那便是，設函數$f(x)$在$x_0$處可導，如果有$f'(x_0)≠0$，那么在$x=x_0$處，$f(x)$不能取得極值。於是，我們其中一個思考的方向便是$f'(x)=0$的點，此外，如果一開始的假設就不成立的話，那么也有可能使得結論是成立的，這就是$f'(x)$不存在的點。
(Def3 駐點) 設$f(x)$可導，則使得$f'(x)=0$的點稱為$f(x)$的駐點。
下面給出2個例子，說明駐點和不可導的點都可以是極值點。
(1) 考慮函數$f(x)=x^2$，有$f'(x)=2x$，那么在$x=0$處的導數值$f'(0)=0$，根據圖像容易得到$f(0)=0$是$f(x)$的極小值點。
(2) 考慮函數$f(x)=|x|$，那么在$x=0$處連續，且左導數$f'_{-}(0)=-1$，右導數$f'_{+}(0)=1$，因此$f(x)$在$x=0$處不可導，但是根據圖像也容易得到$f(0)=0$是$f(x)$的極小值點。
因此，我們在利用導數去考慮一個函數的極值的時候，需要判斷2種點，第一種就是駐點，第二種就是導數不存在的點。然后接下來應該如何利用導數呢，我們就需要如下的定理，它給出了利用導數的符號去判斷駐點是否為極值點的充分條件。
(Thm4 極值第一充分條件) 設函數$f(x)$在$x_0$處連續，且在$x_0$附近的空心鄰域$\mathring{U}(x_0,\delta)$內可導。則有
(1) 若$x \in (x_0-\delta,x_0)$時，$f'(x)>0$，而$x \in (x_0,x_0+\delta)$時，$f'(x)<0$，則$f(x)$在$x=x_0$處取得極大值。
(2) 若$x \in (x_0-\delta,x_0)$時，$f'(x)<0$，而$x \in (x_0,x_0+\delta)$時，$f'(x)>0$，則$f(x)$在$x=x_0$處取得極小值。
(3) 若$x \in \mathring{U}(x_0,\delta)$時，$f'(x)$的符號保持不變，那么$f(x)$在$x_0$處沒有極值，把這樣子的點稱為鞍點。
有了Thm4，我們求出來的駐點就有所發揮了，只要考慮在駐點周圍的導函數的符號即可，這句話其實也是瞄着極值的定義來寫的，我們可以將$f'(x)>0$簡單的翻譯成$f(x)$單調遞增，將$f'(x)<0$簡單的翻譯成$f(x)$單調遞減，這樣子就從Thm4轉化為Def1。
下面給出一個例子。
例： 求函數$f(x)=x+\frac{1}{x}$的極值和極值點。
解：
由$f(x)=x+\frac{1}{x}$可得定義域為$(-∞,0) \cup (0,+∞)$，接下來求導數可得$$f'(x)=1-\frac{1}{x^2}$$
令$f'(x)>0$可得$x<-1$或者$x>1$，令$f'(x)<0$可得$-1<x<0$和$0<x<1$，導數不存在的點為$x=0$。
因此可以知道$f(x)$在$(-∞,-1)$上遞增，在$(-1,0)$上遞減，在$(0,1)$上遞減，$(1,+∞)$上遞增，從而在$x=-1$上取得極大值$f(-1)=-2$，在$x=1$上取得極小值$f(1)=2$，$x=0$沒有定義。
除了這種方法以外，還有一種方法就是利用二階導數$f''(x)$，注意我們這里可以先把$f''(x)$與函數的凹凸性的恩怨情仇分開，關於函數的凹凸性我們一會兒可以在后面接着寫，這里我們只討論$f''(x)$和極值的關系，有這么一個極值第二充分條件。
(Thm5 極值第二充分條件) 設函數$f(x)$在$x_0$處具有二階導數且$f'(x_0)=0$，$f''(x_0)≠0$，那么有
(1) 當$f''(x_0)<0$時，函數$f(x)$在$x_0$處取得極大值。
(2) 當$f''(x_0)>0$時，函數$f(x)$在$x_0$處取得極小值。
注意用極值第二充分條件時一定要有的條件$f'(x_0)=0$，很多考研的學生都只知道可以通過求二階導數來判斷極值，但是求完以后就總是忘記了檢查一階導數在$x_0$處是不是為0，從而導致錯誤。
其實本質上來說，極值第二充分條件是極值第一充分條件的一個特殊的情況，如果我們用定義去考慮這兩個二階導數，就會發現$$f''(x_0)=\lim \limits_{x \to x_0} \frac{f'(x)-f'(x_0)}{x-x_0}$$容易觀察到，如果滿足$f''(x_0)>0$，說明分子分母同號，剛好就對應着第一充分條件中的極小值情況，而$f''(x_0)<0$時，說明分子分母異號，剛好就對應着第一充分條件中的極大值的情況。
下面依舊給出一個例子。
例： 求函數$f(x)=x+\frac{1}{x}$的極值和極值點。
解：
由$f(x)=x+\frac{1}{x}$可得定義域為$(-∞,0) \cup (0,+∞)$，接下來求導數可得$$f'(x)=1-\frac{1}{x^2}，f''(x)=\frac{2}{x^3}$$
令$f'(x)=0$可得$x=±1$，再代入二階導數可得$f''(-1)=-2,f''(1)=2$，因此有$x=-1$是極大值點，$x=1$是極小值點，而$x=0$為無定義點，討論起來無意義。
總的來說，上面兩個條件都是針對駐點的情況的，而對於導數不存在的情況，則需要我們利用極值的定義去判斷。這里首先需要澄清一個觀念，那就是導函數的無定義點對於原來的函數來說不一定是無定義點。前面提到的$f(x)=|x|$在$x=0$處就是典型的導函數為跳躍間斷點的情況，另外一個例子是$f(x) = \sqrt(x)$，它的導函數在$x=0$處就是無窮間斷點。但這兩個函數顯然在$x=0$處是右連續的。
因此，對於判斷導數不存在的情況時，我們需要考察的是導函數$f'(x)$在間斷點$x=x_0$的左右兩側的符號情況，再根據符號來判斷函數$f(x)$在$x=x_0$的增減性情況，理論說起來比較枯燥，還是直接看一個例子好了。
例：求函數$f(x)=|x|$的極值。
解：首先可以寫成分段函數的形式$$f(x)= \begin{cases} x \quad x≥0 \\ -x \quad x<0 \end{cases}$$因此接下來我們根據定義求在$x=0$處的導數情況，我們有$$\lim \limits_{x \to 0^-} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim \limits_{x \to 0^-} \frac{-x}{x} = -1，\lim \limits_{x \to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim \limits_{x \to 0^+} \frac{x}{x} = 1 $$因此在$x=0$左右兩側的導數不相等，在$x=0$這一點不可導，但從$f(x)=|x|$的角度來說，顯然$x=0$是連續點，且為極小值點，極小值為0。
多元函數
多元函數的情況其實和剛才的極值第二充分條件非常的類似，只不過這個時候，需要判斷的函數的極大值極小值變成了多元函數，為了講清楚多元函數判斷極大值極小值的原理，我們需要對一元函數中的極值第二充分條件要有更深一步的認識，就是下面描述的內容。
(Thm5a 極值第二充分條件的泰勒公式理解) 設$f(x)$在$x=x_0$處二階可導，且滿足$f'(x_0)=0,f''(x_0)≠0$，則利用泰勒公式在$U(x_0,\delta)$處展開可得。$$\begin{align} f(x) &= f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+f''(\xi)(x-x_0)^2(\xi \in U(x_0,\delta)) \\ &= f(x_0) + f''(\xi)(x-x_0)^2 \end{align}$$因此很容易得到$f(x)$和$f(x_0)$的關系就取決於$f''(\xi)$的符號，這就是我們極值第二充分條件所表達的形式。
有了一元函數的基礎以后，我們就可以根據多元函數的泰勒公式，類似的進行判斷，由於考研中只涉及二元函數的極值，且對於多元泰勒公式基本不涉及，這里就只討論二元函數了，在此之前還需要先引入一個基本概念。
(Def 6 Hessian矩陣) 它是一個由多元函數的二元偏導數偏導數構成的方陣，描述了函數的局部曲率，形式上如下$$\begin{bmatrix} {\frac{\partial ^2 f}{\partial x_1^2}} & {\frac{\partial ^2 f}{\partial x_1 \ x_2}} & {\cdots} &{\frac{\partial ^2 f}{\partial x_1 \ x_n}} \\ {\frac{\partial ^2 f}{\partial x_2 \ x_1}} & {\frac{\partial ^2 f}{\partial x_2^2}} & {\cdots} & {\frac{\partial ^2 f}{\partial x_2 \ x_n}} \\ {\vdots} & {\vdots} & {\ddots} & {\vdots} \\ {\frac{\partial ^2 f}{\partial x_n \ x_1}} & {\frac{\partial ^2 f}{\partial x_n \ x_2}} & {\cdots} & {\frac{\partial ^2 f}{\partial x_n^2}} \\ \end{bmatrix}$$
如果是對於二元函數，那么就是如下的形式$$\begin{bmatrix} {{\partial ^2 f} \over {\partial x_1^2}} & {{\partial ^2 f} \over {\partial x_1 \ x_2}} \\ {{\partial ^2 f} \over {\partial x_2 \ x_1}} & {{\partial ^2 f} \over {\partial x_2^2}} \end{bmatrix}$$接下來如果令$A={{\partial ^2 f} \over {\partial x_1^2}}$，$C={{\partial ^2 f} \over {\partial x_2^2}}$，以及$B={{\partial ^2 f} \over {\partial x_1 \ x_2}}={{\partial ^2 f} \over {\partial x_2 \ x_1}}$。是不是就感覺有點熟悉了？當然了，這里最后的兩個混合偏導數能相等的充要條件是二階混合偏導數連續。有了這個以后，我們就可以根據泰勒公式去理解多元函數的極值的，類似的，我們也先引入多元函數極值的一些定義，這里一些相關概念就不再展開，可以直接翻考研輔導課本。
(Def7 多元函數極值) 設函數$z=f(x,y)$的定義域為$D$，$P_0(x_0,y_0)$為$D$的內點，若存在$P_0$的某個鄰域$U(x_0) \subset D$，使得對於該鄰域內異於$P_0$的任何點$(x,y)$，都有$$f(x,y)<f(x_0,y_0)$$則稱函數$f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$有極大值$f(x_0,y_0)$，點$(x_0,y_0)$稱為函數的極大值點，若對於該鄰域內異於$P_0$的任何點$(x,y)$，都有$$f(x,y)>f(x_0,y_0)$$則稱函數$f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$有極小值$f(x_0,y_0)$，點$(x_0,y_0)$稱為函數的極小值點。極大值與極小值統稱為極值，使得函數取得極值的點稱為極值點。
和一元函數類似，這里也完全不涉及到一階偏導數的任何概念，然后也是從一個必要條件開始的。
(Thm8 多元函數極值的必要條件) 設函數$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$具有偏導數，且在$(x_0,y_0)$處有極值，則有$$f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$$
然后就把$f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$的點也同樣的稱為駐點，和一元函數不一樣的是，一元函數只需要考察定義域左右兩側的導函數的符號變化就可以了，從二元函數開始，要考慮的是定義域內全部的方向的函數變化，由於平面上有無窮多個方向可以逼近導函數，因此不可以再應用"極值第一充分條件"，那么就只剩下“極值第二充分條件”了，下面先來看看這個條件。
(Thm9 多元函數極值的充分條件) 設函數$z=f(x,y)$在點$(x_0,y_0)$的某鄰域內具有一階和二階連續偏導數，又有$f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$，令$$A=f_xx(x_0,y_0),B=f_xy(x_0,y_0),C=f_yy(x_0,y_0)$$則$f(x,y)$在$(x_0,y_0)$處是否取得極值的條件如下：
(1) $AC-B^2>0$時具有極值，且當$A<0$時具有極大值，當$A>0$時具有極小值。
(2) $AC-B^2<0$時沒有極值。
(3) $AC-B^2=0$時是否有極值還需要討論。
這個定理就直接給出了無條件極值下判斷多元函數的極大值和極小值的方法了，下面我們可以利用二元泰勒對它進行理解，首先來看看二元函數的泰勒公式的形式。
(Thm10 二元函數的泰勒展開式) 二元函數在點$(x_k,y_k)$處的泰勒展開式為：$$f(x,y)=f(x_k,y_k)+(x-x_k)f'_x(x_k,y_k)+(y-y_k)f'_y(x_k,y_k)+\frac{1}{2!}(x-x_k)^2f''_xx(x_k,y_k)+\frac{1}{2!}(x-x_k)(y-y_k)f''_xy(x_k,y_k)+\frac{1}{2!}(x-x_k)(y-y_k)f''_yx(x_k,y_k)+\frac{1}{2!}(y-y_k)^2f''_yy(x_k,y_k)+o^n$$
如果寫成矩陣的形式，那么就是$$f(x,y)=f(x_k,y_k)+(x-x_k)f'_x(x_k,y_k)+(y-y_k)f'_y(x_k,y_k) + \begin{bmatrix} x-x_k \ , \ y-y_k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\partial ^2 f} \over {\partial x^2} & {\partial ^2 f} \over {\partial x \ \partial y} \\ {\partial ^2 f} \over {\partial y \ \partial x} & {\partial ^2 f} \over {\partial y^2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x-x_k \\ y-y_k \end{bmatrix}$$
有了矩陣展開式以后，我們就能很容易理解Thm9所表示的內容。這里首先要注意的是，我們判斷極值的正確與否利用的是多元函數極值的定義，如果有$f_x(x_0,y_0)=f_y(x_0,y_0)=0$時，那么整個矩陣展開式就可以轉變為$$f(x,y)=f(x_k,y_k)+ \begin{bmatrix} x-x_k \ , \ y-y_k \end{bmatrix} \begin{bmatrix} {\partial ^2 f} \over {\partial x^2} & {\partial ^2 f} \over {\partial x \ \partial y} \\ {\partial ^2 f} \over {\partial y \ \partial x} & {\partial ^2 f} \over {\partial y^2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x-x_k \\ y-y_k \end{bmatrix}$$這其中，后面矩陣的形式是一個二次型，關鍵就在於二次型矩陣的情況，利用線性代數的知識，容易得到。
(1) $AC-B^2>0$時具有極值，且當$A<0$時具有極大值，當$A>0$時具有極小值，這對應着二次型矩陣的負定和正定的情況。
(2) $AC-B^2<0$時沒有極值，這對應着非正定的情況。
(3) $AC-B^2=0$時是否有極值還需要討論，這也是對應着非正定的情況。
如果二次型對應的矩陣是正定的，那么泰勒展開式中第二項矩陣項就全部大於0，於是就有$f(x,y)>f(x_k,y_k)$，就得到極小值；如果二次型對應的矩陣是負定的，那么泰勒展開式中第二項矩陣就全部小於0，於是就有$f(x,y)<f(x_k,y_k)$，就得到極大值；
依舊是一個例子。
例：求函數$f(x,y)=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x$的極值
解：先求一階偏導數，得到如下結果$$\begin{cases} f_x(x,y)=3x^2+6x-9=0 \\ f_y(x,y)=-3y^2+6y=0 \end{cases}$$因此駐點為$(1,0)、(1,2)、(-3,0)、(-3,2)$，再求出二階偏導數得到。$$f_{xx}(x,y)=6x+6，f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y)=0，f_{yy}(x,y)=-6y+6$$依次求解得
在點$(1,0)$處，$AC-B^2=12*6>0$，又有$A>0$，所以函數在$(1,0)$處有極小值$f(1,0)=-5$。
在點$(1,2)$處，$AC-B^2=12*(-6)<0$，因此$f(1,2)$不是極值。
在點$(-3,0)$處，$AC-B^2=-12*6<0$，因此$f(-3,0)$不是極值。
在點$(-3,2)$處，$AC-B^2=-12*(-6)>0$，又有$A<0$，因此函數在$(-3,2)$處有極大值$f(-3,2)=31$。
另外一個例子。
例：求函數$z=\sqrt{x^2+y^2}$的極值
解：先求一階偏導數，得到$$z_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},z_y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$$
注意這兩個函數是典型的二元極限不存在的函數，否則令$y=kx$，代入$z_x$得$$\begin{aligned} I &= \lim \limits_{x \to 0} \frac{x}{\sqrt{x^2+k^2x^2}} \\ &= \lim \limits_{x \to 0} \sqrt{\frac{x^2}{x^2+k^2x^2}} \\ &= \sqrt{\frac{1}{1+k^2}} \end{aligned}$$
顯然這個式子的值與k相關，故二元極限不存在，但是從函數的圖像容易得到，$(0,0)$顯然是函數的極小值點。$z=0$是函數的極小值。
拐點與凹凸性
在把極值點講完以后，還剩下一類點是拐點。這類點與函數的二階導數非常相關的，既然談到二階導數，那么就免不了要談函數的凹凸性，於是首先就要統一一下凹凸性的語言，凹凸性首先要分為2類，一類是函數的凹凸性，另外一類是圖形的凹凸性，出於直觀考慮，我這里先描述圖形的凹凸性。
(Def11 圖形的凹凸性) 根據下面的圖形，設函數$f$在區間$I$上連續.
(1) 如果對於$I$上的任意兩點$a,b$，恆有$$f(\frac{a+b}{2}) > \frac{f(a)+f(b)}{2}$$那么稱$f(x)$在$I$上的圖形是上凸的，如左側圖。
(2) 如果對於$I$上的任意兩點$a,b$，恆有$$f(\frac{a+b}{2}) < \frac{f(a)+f(b)}{2}$$那么稱$f(x)$在$I$上的圖形是下凸的，如右側圖。
PS：同濟課本上對於圖形的“凸”的定義通常認為是上凸的，對於圖形的“凹”的定義通常認為是下凸的。
作為對比，我們直接來看關於函數的凹凸性。
(Def12 函數的凹凸性) 根據上面的圖形，如果函數$f(x)$在區間$I$上連續
(1) 如果對於$I$上的任意兩點$a,b$，恆有不等式$f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，那么稱$f(x)$為凸函數。
(2) 如果對於$I$上的任意兩點$a,b$，恆有不等式$f(\frac{x_1+x_2}{2})<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$，那么稱$f(x)$為凹函數。
PS：同濟課本上對這一塊沒有描述，只定義了圖形的凹凸性。
這樣子一對比，很容易就能夠看到如下的結果。
| 表達式 | 圖形的凹凸性 | 函數的凹凸性 |
| $f(\frac{a+b}{2})>\frac{f(a)+f(b)}{2}$ | 上凸(凸) | 凹函數 |
| $f(\frac{a+b}{2})<\frac{f(a)+f(b)}{2}$ | 下凸(凹) | 凸函數 |
因此，在凹凸性這塊，函數的凹凸性和圖形的凹凸性是剛好相反的。我個人的記憶方法是只記下凸圖形對應凸函數，下凸函數的形式就和拋物線是類似的。接下來就是凹凸性和二階導數的關系了，這部分有如下定理。
(Thm13 圖形的凹凸性判斷與二階導數的關系) 設$f(x)$在$[a,b]$上連續，在$(a.b)$內具有一階和二階導數，那么有
(1) 若在$(a,b)$內有$f''(x)>0$，則$f(x)$在$[a,b]$上的圖形是凹的，即$f(x)$是凸函數。
(2) 若在$(a,b)$內有$f''(x)<0$，則$f(x)$在$[a,b]$上的圖形是凸的，即$f(x)$是凹函數。
觀察這個定理可以知道，它和前面的函數的極值與導數的關系(極值第一充分條件)非常的類似，事實上也確實如此的，如果將一階導數視為函數，那么二階導數就是一階導數的導數，於是它就可以用於判斷一階導數的極值點，為了區分函數的極值點和一階導數的極值點，我們定義了駐點。
(Def14 拐點) 設$f(x)$二階可導，則稱使得$f''(x)=0$的$x$為拐點。
因此根據Thm13以及Def14，我們可以整理出一套流程。
| 求函數的極值 | 求函數的凹凸性 |
| (1) 求出一階導數f'(x) (2) 求出f'(x)定義域不存在的點，得到不可導點。 (3) 求解方程f'(x)=0，得到駐點。 (4) 判斷不可導點以及駐點左右兩側的f'(x)符號變化情況。 |
(1) 求出二階導數f''(x) (2) 求出f''(x)定義域不存在的點，得到f'(x)的不可導點。 (3) 求解方程f''(x)=0，得到拐點 (4) 判斷f'(x)的不可導點以及拐點的符號，得到凹凸性。 |
嗯，接下來來看一道例題了。
例：判斷$f(x)=x^(1/3)$的凹凸性。
解：先求出$f(x)$的二階導數，有$$f'(x)=\frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}，f''(x)=-\frac{2}{9x^3 \sqrt{x^2}}$$
因此容易得到當$x<0$時，$f''(x)>0$，圖像為凹的，所以函數為凸函數，當$x>0$時，$f''(x)<0$，圖像為凸的，所以函數為凹函數。在$x=0$處發生了凹凸性的轉變，但在$x=0$處二階導數不存在，它不是拐點。
拐點與極值的關系
這個今年考研問我的人當中問的最多的一種類型的題目，這里面取了一道作為例子，如下：
例：設$f''(x)$連續，且$f'(0)=0$，$\lim \limits_{x \to 0} \frac{f''(x)}{|x|} = 1$，則有( )
A. $f(0)$是$f(x)$的極大值
B. $f(0)$是$f(x)$的極小值
C. $(0,f(0))$是$y=f(x)$的拐點
D. $f(0)$非極值，$(0,f(0))$也非$y=f(x)$的拐點
解：由題中的極限容易得到兩個關系，那就是$$\lim \limits_{x \to 0^+} \frac{f''(x)}{x}=1，\lim \limits_{x \to 0^-} \frac{f''(x)}{-x} = 1$$
再由$f''(x)$連續，得$f''(0)=0$，由保號性可以得知可以得知當$x>0$時有$f''(x)>0$，當$x<0$時有$f''(x)>0$，所以這里沒有發生凹凸性的轉變，$x=0$不是拐點。
但由$f''(x)>0$可以推得$f'(x)$在$U(0,\delta)$內單調遞增，且滿足$f'(0)=0$，所以在$U(0,\delta)$內$f'(x)$發生的符號的改變，具體的說，當$x>0$時有$f'(x)>0$，當$x<0$時有$f'(x)<0$，因此是極小值，這題選B。
PS：這里要注意的是$f'(0)=0$，然后要判斷的是$f''(0)$的符號，才能判斷是極大值或者極小值。然后發現$f''(0)=0$，於是不滿足極值的條件，再判斷$f''(x)$在$U(0,\delta)$的情況，來判斷凹凸性。一定要注意順序。
(如果今年還遇到其他拐點和極值的關系的題目，歡迎評論到下方，到時候可以一起總結到這里!）