關於 -128 ，+128，-0，+0，-1 的反碼補碼

一.反碼的范圍

反碼表示法規定：正數的反碼與其原碼相同。負數的反碼是對其原碼逐位取反，但符號位除外。

在規定中，8位二進制碼能表示的反碼范圍是-127~127。

此時（字長為8位）, -128沒有原碼和反碼（只有補碼）。

那么，為什么規定字長8位時-128沒有原碼和反碼呢?下面解釋。

首先看-0，[-0]原碼=1000 000，其中1是符號位，求反操作，算出[-0]反碼=1111 1111，

再看-128，假如它有原碼且[-128]原碼=1000 000，假如讓-128也有反碼，求反操作，則[-128]反碼=1111 1111，

你會發現，-128的反碼和-0的反碼相同，所以為了避免面混淆，有了-0的原碼，便不能有-128的原碼補碼，這是8位比特位位數限制決定的。

二.原碼 反碼 補碼的范圍

前提：字長是8位二進制數。

原碼  -127~127      -128呢？？？不是說-128有原碼 是1000 0000嗎？？

反碼  -127~127

補碼  -128~127

對於n位二進制數：

你會發現，補碼比其它碼多一位，這是為什么呢？問題出在0上。

[+0]原碼=0000 0000，   [-0]原碼=1000 0000

[+0]反碼=0000 0000，   [-0]反碼=1111 1111

[+0]補碼=0000 0000，   [-0]補碼=0000 0000   

你會發現，+0和-0的補碼是一樣的。即 0的補碼只有一種表示。

這里解釋一下[-0]補碼是怎么得來的。

負數的補碼就是反碼整體加一。符號位上的進位舍棄。（所以，舍棄了符號位的補碼的第一位是數值位，不是符號位，符號位舍棄了）

另外解釋一下原碼符號位和補碼符號位的關系，補碼的符號位不是保持原碼的第一位不變，而是 符號位不變，[-0]反碼的第一個1是符號位，尾數中的7個1是數值位，尾數加一后，數值位產生了進位，1111 1111+1=1 0000 0000（計算補碼的過程中，並不是先保證第一位不變，而是保證符號位不變，保證補碼規則是反碼整體加一）。

所以，補碼能表示的數的個數中，比原碼反碼少了一個，所以補碼可以多表示一個真值為-128的數。

但是，多表示的這個數-128比較特殊，只有原碼和補碼，沒有反碼。

-128的補碼是1000 0000。

 

三.-128的補碼為什么是1000 0000

 

8位二進制的原值表達范圍為：-127至127

共有256個組合序列 0000 0000 至1111 1111 。
+128的原值在8位中是表達不出來的。

 

下面從兩個角度理解-128的補碼為什么是1000 0000.

（1）從補碼的意義上去理解 

因為：256-128=256+(-128)的補碼 --機器中只有加法。減法會變成補碼的加法。

而      256-128=128 
所以   256+（-128）的補碼=128 
所以           （-128）的補碼=256-128 
                                     =128 
數學上， 128=1000 0000 
故規定-128的補碼為 1000 0000 

注意：只是規定而已，下面還有原因。

 

8位二進制 的補碼組合序列有256個
0000 0000 - 0111 1111    0 ~+127
1000 0000                       用來干啥好呢？                               

1000 0001 - 1111 1111    -1~-127

再看看這個規律表
   原碼            補碼         值
0111 1111   0111 1111   +127
0111 1110   0111 1110   +126
     ...          .. 補碼不斷-1...
0000 0000   0000 0000     0
1000 0001   1111 1111    -1
1000 0010   1111 1110    -2
1000 0011   1111 1101    -3
    ...          .. 補碼不斷-1...
1111 1111   1000 0001 -127
無法表達     1000 0000 -128

 

於是就有了規定 1000 0000 定為 -128的補碼
這種定法和上面數學層面的表述是一致的。

這樣規定后，負數的補碼在機器中就好算了。

 

計算方法上是：
將該負數取絕對值,再用二進制表示出這個絕對值  (不管符號位！）
對該二進制數進行取反加一操作就得到負數的補碼了  （也就是求補操作！）
-128 絕對值是 128 
128的二進制表示為: 
1000 0000 
取反 
0111 1111 
加1 
1000 0000 
這就是-128的補碼 
這種辦法算出的結果符合“規定值”。

四.

    1字節 = 8位，所以它能表示的最大數當然是8位都是1（既然2進制的數只能是0或1,如果是我們常見的10進制，那就8位都為9，這樣說，你該懂了？）

1字節的二進制數中，最大的數：11111111。

     雙字節共16位。 1111111111111111。雙字節數最大值為：

1 * 2¹⁵ + 1 *2¹⁴ + 1* 2¹³ + 1 * 2¹² + 1 * 2¹¹ + 1 * 2¹⁰ + …… + 1 * 2² + 1 * 2¹ + 1* 2⁰ = 65535

 

負數在計算機中如何表示呢？

這一點，你可能聽過兩種不同的回答。

一 種是教科書，它會告訴你：計算機用“補碼”表示負數。可是有關“補碼”的概念一說就得一節課，這一些我們需要在第6章中用一章的篇幅講2進制的一切。再 者，用“補碼”表示負數，其實是一種公式，公式的作用在於告訴你，想得到問題的答案，應該如何計算。卻並沒有告訴你為什么用這個公式就可以得到答案！ -----我就是被這個弄混淆的>_<

另 一種是一些程序員告訴你的：用二進制數的最高位表示符號，最高位是0，表示正數，最高位是1，表示負數。這種說法本身沒錯，可是如果沒有下文，那么它就是 錯的。至少它不能解釋，為什么字符類型的-1用二進制表示是“1111 1111”(16進制為FF)；而不是我們更能理解的“1000 0001”。（為什么說后者更好理解呢？因為既然說最高位是1時表示負數，那1000 0001不是正好是-1嗎？-----re！當初偶就是這么想的，so一直在腦中打架，越打越混淆＝，＝）。

讓我們從頭說起。

2.1、你自已決定是否需要有正負。

就像我們必須決定某個量使用整數還是實數，使用多大的范圍數一樣，我們必須自已決定某個量是否需要正負。如果這個量不會有負值，那么我們可以定它為帶正負的類型。

在計算機中，可以區分正負的類型，稱為有符類型，無正負的類型（只有正值），稱為無符類型。

數值類型分為整型或實型，其中整型又分為無符類型或有符類型，而實型則只有有符類型。

字符類型也分為有符和無符類型。

比如有兩個量，年齡和庫存，我們可以定前者為無符的字符類型，后者定為有符的整數類型。

　3、無符號數和有符號數的范圍區別。

　 同樣是一個字節，無符號數的最大值是255，而有符號數的最大值是127。原因是有符號數中的最高位被挪去表示符號了。並且，我們知道，最高位的權值也是最高的（對於1字節數來說是2的7次方=128），所以僅僅少於一位，最大值一下子減半。

不過，有符號數的長處是它可以表示負數。因此，雖然它的在最大值縮水了，卻在負值的方向出現了伸展。我們仍一個字節的數值對比：

無符號數：                       0 ----------------- 255

有符號數：                      -128 ----- 0  ----- 127

　

同樣是一個字節，無符號的最小值是 0 ，而有符號數的最小值是-128。所以二者能表達的不同的數值的個數都一樣是256個。只不過前者表達的是0到255這256個數，后者表達的是-128到+127這256個數。

一個有符號的數據類型的最小值是如何計算出來的呢？

有符號的數據類型的最大值的計算方法完全和無符號一樣，只不過它少了一個最高位（見第3點）。但在負值范圍內，數值的計算方法不能直接使用1* 2⁶ + 1* 2⁵ 的公式進行轉換。在計算機中，負數除為最高位為1以外，還采用補碼形式進行表達。所以在計算其值前，需要對補碼進行還原。這里，先直觀地看一眼補碼的形式：

以我們原有的數學經驗，在10進制中：1 表示正1，而加上負號：-1 表示和1相對的負值。

那么，我們會很容易認為在2進制中（1個字節）： 0000 0001 表示正1，則高位為1后：1000 0001應該表示-1。

然而，事實上計算機中的規定有些相反，請看下表：

 

 

二進制值（1字節）	十進制值
1000 0000紅色的1代表負數藍色的是補碼(補碼=反碼+1)	-128
1000 0001藍色部分代表多大的值？：將補碼還原為原碼	-127想化成負數？：先減去1再按位取反
1000 0010還原方法：補碼-1再取反	-126
1000 0011	-125
...	...
1111 1110	-2
1111 1111	-1

 

　

首先我們看到，從-1到-128，其二進制的最高位都是1（表中標為紅色），正如我們前面的學。

然后我們有些奇怪地發現，1000 0000 並沒有拿來表示 -0；而1000 0001也不是拿來直觀地表示-1。事實上，-1 用1111 1111來表示。

怎么理解這個問題呢？先得問一句是-1大還是-128大？

當 然是 -1 大。-1是最大的負整數。以此對應，計算機中無論是字符類型，或者是整數類型，也無論這個整數是幾個字節。它都用全1來表示 -1。比如一個字節的數值中：1111 1111表示-1，那么，1111 1111 - 1 是什么呢？和現實中的計算結果完全一致。1111 1111 - 1 = 1111 1110，而1111 1110就是-2。這樣一直減下去，當減到只剩最高位用於表示符號的1以外，其它低位全為0時，就是最小的負值了，在一字節中，最小的負值是1000 0000，也就是-128。

--------小米批注：就是這部分藍色的文字，讓我終於能記清楚-1的編碼方式了，汗＝。＝

我們以-1為例，來看看不同字節數的整數中，如何表達-1這個數：

 

字節數	二進制值	十進制值
單字節數	1111 1111紅色表示負數藍色部分的補碼為值1	-1
負數：原碼就是原來的表示方法、反碼是除符號位（最高位）外取反、補碼=反碼+1雙字節數	1111 1111 1111 1111	-1
四字節數	1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111	-1

 

可 能有同學這時會混了：為什么 1111 1111 有時表示255，有時又表示-1？

所以我再強調一下本節前面所說的第2點：你自已決定一個數是有符號還是無符號的。寫程序時，指定一個量是有符號的，那么 當這個量的二進制各位上都是1時，它表示的數就是-1；相反，如果事先聲明這個量是無符號的，此時它表示的就是該量允許的最大值，對於一個字節的數來說， 最大值就是255。

ok 摘抄暫告段落，其實原文對於c的一些基礎數據類型知識介紹的非常詳細，8過太長了，摘到我需要的內容后就沒全帖過來，如果有需要學習的同學，建議參見原文：）

轉自http://blog.cersp.com/7892477/1201309.aspx

什么叫機器數？計算機為什么要采用補碼？

    在計算機內部，所有信息都是用二進制數串的形式表示的。整數通常都有正負之分，計算機中的整數分為無符號的和帶符號的。無符號的整數用來表示0和正整數， 帶符號的證書可以表示所有的整數。由於計算機中符號和數字一樣，都必須用二進制數串來表示，因此，正負號也必須用0、1來表示。通常我們用最高的有效位來 表示數的符號（當用8位來表示一個整數時，第8位即為最高有效位，當用16位來表示一個整數時，第16位即為最高有效位。）0表示正號、1表示負號，這種 正負號數字化的機內表示形式就稱為“機器數”，而相應的機器外部用正負號表示的數稱為“真值”。將一個真值表示成二進制字串的機器數的過程就稱為編碼。

    無符號數沒有原碼、反碼和補碼一說。只有帶符號數才存在不同的編碼方式。

帶符號整數有原碼、反碼、補碼等幾種編碼方式。原碼即直接將真值轉換為其相應的二進制形式，而反碼和補碼是對原碼進行某種轉換編碼方式。正整數的原 碼、反碼和補碼都一樣，負數的反碼是對原碼的除符號位外的其他位進行取反后的結果（取反即如果該位為0則變為1，而該位為1則變為0的操作）。而補碼是先 求原碼的反碼，然后在反碼的末尾位加1 后得到的結果，即補碼是反碼+1。IBM-PC中帶符號整數都采用補碼形式表示。（注意，只是帶符號的整數采用補碼存儲表示的，浮點數另有其存儲方式。）

    采用補碼的原因或好處如下。

    采用補碼運算具有如下兩個特征：

    1）因為使用補碼可以將符號位和其他位統一處理，同時，減法也可以按加法來處理，即如果是補碼表示的數，不管是加減法都直接用加法運算即可實現。

    2）兩個用補碼表示的數相加時，如果最高位（符號位）有進位，則進位被舍棄。

    這樣的運算有兩個好處：

    1）使符號位能與有效值部分一起參加運算，從而簡化運算規則。從而可以簡化運算器的結構，提高運算速度；（減法運算可以用加法運算表示出來。）

    2）加法運算比減法運算更易於實現。使減法運算轉換為加法運算，進一步簡化運算器線路設計。

    下面深入分析上面所陳述的采用補碼的原因（目的）。

    用帶符號位的原碼進行乘除運算時結果正確,而在加減運算的時候就出現了問題，如下：假設字長為8bits

    1  D- 1 D = 1 D + ( -1 )D = ( 0 )D

    (00000001)原 + (10000001)原 = (10000010)原 = ( -2 ) 顯然不正確.。

    因為在兩個整數的加法運算中是沒有問題的，於是就發現問題出現在帶符號位的負數身上，對除符號位外的其余各位逐位取反就產生了反碼。反碼的取值空間和原碼相同且一一對應。下面是反碼的減法運算：

      1  D- 1 D = 1 D + ( -1 )D = ( 0 )D

     (00000001) 反+ (11111110)反 = (11111111)反 = ( -0 ) 有問題。

      1  D - 2 D= 1 D+ ( -2 )D = ( -1 )D

     (00000001) 反+ (11111101)反 = (11111110)反 = ( -1 ) 正確

    問題出現在(+0)和(-0)上，在人們的計算概念中零是沒有正負之分的。

於是就引入了補碼概念。負數的補碼就是對反碼加一，而正數不變，正數的原碼反碼補碼是一樣的。在補碼中用(-128)代替了(-0)，所以補碼的表示范圍為：

(-128~0~127)共256個。

   

    采用補碼表示還有另外一個原因，那就是為了防止0的機器數有兩個編碼。原碼和反碼表示的0有兩種形式+0和-0，而我們知道，+0和-0是相同的。這 樣，8位的原碼和反碼表示的整數的范圍就是-127~+127（11111111~01111111），而采用補碼表示的時候，00000000是+0， 即0；10000000不再是-0，而是-128，這樣，補碼表示的數的范圍就是-128~+127了，不但增加了一個數得表示范圍，而且還保證了0編碼 的唯一性。

 

接下來的問題是，如何能將減法運算轉換成加法運算呢？

    我們已經知道，原碼表示簡單直觀，與真值轉換容易。但如果用原碼表示，其符號位不能參加運算。在計算機中用原碼實現算術運算時，要取絕對值參加運算，符號位單獨處理，這對乘除運算是很容易實現的，但對加減運算是非常不方便的，如兩個異號數相加，實際是要做減法，而兩個異號數相減，實際是要做加法。在做減法時，還要判斷操作數絕對值的大小，這些都會使運算器的設計變得很復雜。而補碼這種編碼方式實際上正是針對上述問題的。通過用補碼進行表示，就可以把減法運算化為加法運算。

    在日常生活中，有許多化減為加的例子。例如，時鍾是逢12進位，12點也可看作0點。當將時針從10點調整到5點時有以下兩種方法：

    一種方法是時針逆時針方向撥5格，相當於做減法：

        10－5＝5

    另一種方法是時針順時針方向撥7格，相當於做加法：

      10＋7＝12＋5＝5    (MOD 12)

    這是由於時鍾以12 為模，在這個前提下，當和超過12時，可將12舍去。於是，減5相當於加7。同理，減4可表示成加8，減3可表示成加9，…。

    在數學中，用“同余”概念描述上述關系，即兩整數A、B用同一個正整數M (M稱為模)去除而余數相等，則稱A、B對M同余，記作：

       A＝B     (MOD M)

    具有同余關系的兩個數為互補關系，其中一個稱為另一個的補碼。當M＝12時，－5和＋7，－4和＋8，－3和＋9就是同余的，它們互為補碼。

    從同余的概念和上述時鍾的例子，不難得出結論：對於某一確定的模，用某數減去小於模的另一個數，總可以用加上“模減去該數絕對值的差”來代替。因此，在有模運算中，減法就可以化作加法來做。

    可以看出，補碼的加法運算所依據的基本關系為：

[x]補+ [y]補= [x+y]補

    補碼減法所依據的基本關系式：

[x-y]補 =[x+(-y)]補= [x]補+ [-y]補  

    至於加法運算為什么比減法運算易於實現以及CPU如何實現各種算術運算等問題，則需要通過對數字電路的學習來理解CPU的運算器的硬件實現問題的相關內容了。

五.

1.一個二進制數的補碼的補碼就是原碼！！！

比如：真值-3，原碼1000 0011，補碼1111 1101，

原碼1111 1101，補碼1000 0011。 

也可以從補碼的數學含義理解。

2.幾個特殊的補碼記憶：（一般是8位，不是8位和8的倍數位的，在實際應用中沒有意義，所以一般都是變換成成8位的二進制數。因為實際應用中，一般都是補碼表示，所以着重記憶補碼）

     0的補碼是0000 0000

    -1的補碼是1111 1111    -1的原碼是1000 0001

-128的補碼是1000 0000

+1的補碼是其原碼。

+1~+127的補碼都是原碼。補碼逐漸加一。

-1~-127的補碼都是其反碼加一。補碼逐漸加一。

雖然補碼的原碼是多少 不夠直觀，但是補碼反映出的負數的大小是直觀的，補碼大小順序和真值保持一致。

負數真值中，-1最大，-128最小，

負數補碼中，-1補碼是1111 1111，...，-127補碼是1000 0001，-128補碼是1000 0000，

在負數的補碼中，直觀上可以看出，-1的補碼是最大的：1111 1111， -128的補碼是最小的：1000 0000。

3.

80H的補碼是多少？

因為有補碼，所以是有符號數。80H即原碼1000 0000，即真值-0，所以80H的補碼是0000 0000。

 六.+128

8位二進制數時，表示不下+128，16位二進制數時可以表示。因為+128=0001 0000 0000

8位二進制數的原碼范圍是-127~-0，+0,~127，反碼是-127~-0，+0~+127，補碼范圍是-128~0~+127。范圍都是256個整數。

不包括+128。-128也只在補碼表示中有。-128的原碼和反碼在8位二進制數時也都沒有，在16位及以上可以表示。

七.探究求補碼的最好的方法

-0的原碼是 1000 0000，反碼 1111 1111， 補碼 0000 0000，可以反碼加一，可以對-1求補操作。

-3的原碼是 1000 0011，反碼 1111 1100 ，補碼 1111 1101，可以反碼加一，可以對-3求補操作。

-128原碼是 沒有            反碼 沒有              補碼 1000 0000                      可以對-128求補操作。

由上面三個例子可以看出，求補碼的最快捷的方法，第一位不變什么的 只適用於不是-1 -128的大部分數！

最統一的方法，應該是：

有反碼的，反碼加一（其中，符號位有進位的 舍棄符號位 只保留數值位。比如-0的補碼。更重要的是-0的補碼 是規定），或者求補操作。

沒有反碼的，求補操作。比如-128。

所以說，求補操作，才是對-128~+127唯一全部使用的求補碼的方法。

這樣也就解釋了，為什么所有補碼都可以用補碼減法運算了，因為求補操作對所有真值都適用。

求補操作：就是求（負數的）補碼

求補操作：不管符號位（不是符號位保持不變！也不是第一位保持不變！就是只用負數的絕對值，根本沒用到符號位），取負數（真值）的絕對值（即將負數的符號位變為0），對絕對值按位取反（可以認為絕對值是無符號數），然后加一。就得到了負數的補碼。

求補操作對於求-0，-128也都適用。

例子：求3CH-90H。分為有符號數和無符號數時。

           0011 1100             

       -  1001 0000

----------------------      

3CH 和90H 不是真值！只有十進制是真值，而 十六進制或者八進制 都是為了書寫二進制碼方便。所以才說3CH可能是無符號數 也可能是有符號數！

3CH 和90H 就是兩個二進制碼！這兩個二進制碼可能是無符號數或者有符號數！

二進制碼（二進制數）分為有符號數和無符號數。

 

有符號數時，X-Y=X+（-Y）補，所以，求-90H的補碼，即求-1001 0000的補碼。即對-1001 0000求補操作！不是對1001 0000求補操作！90H是絕對值，-90H是真值，1001 0000是絕對值的二進制碼。

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這里解釋一下題目要求的意思：

（1）機器只認識二進制。十六進制和八進制是為了人書寫簡潔而設立的。

（2）有符號數和無符號數說的都是二進制數（二進制碼）。

3CH的二進制碼是唯一的，但是當它是有符號數時和是無符號數時 的真值顯然是不同的。