場景
在搜索引擎項目中，我用到了最短編輯距離算法，用於對用戶輸入的查詢進行糾錯，從而優化查詢結果。比如說，我們在輸入英文單詞的時候，由於疏忽或者記憶不准確，會有拼寫錯誤的情況。以單詞beau
tiful 為例，假設我們在搜索引擎中輸入beau
itful（我故意拼錯了），看看會發生什么。
如下圖所示，雖然我把這個單詞拼錯了，但是查詢結果提示“including results for beautiful”，也就是說，它似乎知道我的查詢輸入拼寫錯誤，並根據某種算法，給我推薦了一個與之最近似的單詞（大概率就是本應正確拼寫的單詞）。在這里，就用到了最短編輯距離算法。這個場景，也稱為模糊搜索。
最短編輯距離
什么是最短編輯距離呢？假定有兩個字符串s1和s2，允許對字符串進行以下三種操作：
1. 插入一個字符
2. 刪除一個字符
3. 替換一個字符
將字符串s1轉換成字符串s2的最少操作次數就是字符串s1和字符串s2之間的最短編輯距離。兩個字符串的最短編輯距離越短，意味着兩個字符串越相似。
例1 ：s1 = "geek"，s2 = "gesek"
我們只需要在s1中插入一個字符，就可以把s1轉換為s2，因此，這兩個字符串的最短編輯距離就是1
例2：s1 = "cat"，s2 = "cut"
我們只需要在s1中替換一個字符，就可以把s1轉換為s2，因此，這兩個字符串的最短編輯距離就是1
例3：s1 = "sunday"，s2 = "saturday"
由於第1個字符和最后3個字符是一樣的，因此，我們只要考慮“un”和"atur"即可。首先，把'n'替換成'r'，再插入'a'、't'，因此最短編輯距離是3
以上面例3進行說明，我們
從字符串的最后一位開始，從右向左進行比較，由於最后一位都是'y'，因此，不需要任何操作，也就是說，兩者的最短編輯距離等價於"sunda"和"saturda"的最短編輯距離，即d("sunday", "saturday") = d("sunda", "saturda")。因此，如果在比較的過程中遇到了相同的字符，那么二者的最短編輯距離就等價於除了這個字符之外，剩余字符的最短編輯距離，即d(i, j) = d(i-1, j-1)。
如果比較的字符不一致，比方說，已經比較到了"sun"和"satur"，根據允許的操作，我們有以下3種操作：
（1）插入：在s1末尾插入一個字符'r'（即"sunr"），由於此時末尾字符都是'r'，因此就變成了比較"sun"和"satu"的編輯距離，即d("sun", "satur") = d("sun", "satu") + 1，也可以寫成d(i, j) = d(i, j-1) + 1。+1 表示當前進行了一次字符操作。
（2）刪除：刪除s1的最后一個字符，並考察s1剩下的部分與s2的距離。即d("sun", "satur") = d("su", "satur") + 1，也可以寫成d(i, j) = d(i-1, j) + 1。
（3）替換：把s1的最后一個字符替換為s2的最后一個字符，即變成了"sur"，因此即d("sun", "satur") = d("su", "satu") + 1，也可以寫成d(i, j) = d(i-1, j-1) + 1。
基於上述分析，我們就可以很快寫出遞歸的代碼。如下：
static int min(int x,int y,int z) { if (x<=y && x<=z) return x; if (y<=x && y<=z) return y; else return z; } static int editDist(String str1 , String str2 , int m ,int n) { // If first string is empty, the only option is to // insert all characters of second string into first if (m == 0) return n; // If second string is empty, the only option is to // remove all characters of first string if (n == 0) return m; // If last characters of two strings are same, nothing // much to do. Ignore last characters and get count for // remaining strings. if (str1.charAt(m-1) == str2.charAt(n-1)) return editDist(str1, str2, m-1, n-1); // If last characters are not same, consider all three // operations on last character of first string, recursively // compute minimum cost for all three operations and take // minimum of three values. return 1 + min ( editDist(str1, str2, m, n-1), // Insert editDist(str1, str2, m-1, n), // Remove editDist(str1, str2, m-1, n-1) // Replace ); }
但是我們都知道遞歸會存在大量的重復計算，因此，顯然不是最優解。在這里，我們可以利用動態規划的思想來進行優化。
假設dp[i][j]表示s1[i]與s2[j]的最短編輯距離，根據之前的分析，可以寫出如下代碼：
static int editDistDP(String str1, String str2, int m, int n) { // Create a table to store results of subproblems int dp[][] = new int[m+1][n+1]; // Fill d[][] in bottom up manner for (int i=0; i<=m; i++) { for (int j=0; j<=n; j++) { // If first string is empty, only option is to // insert all characters of second string if (i==0) dp[i][j] = j; // Min. operations = j // If second string is empty, only option is to // remove all characters of second string else if (j==0) dp[i][j] = i; // Min. operations = i // If last characters are same, ignore last char // and recur for remaining string else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) dp[i][j] = dp[i-1][j-1]; // If the last character is different, consider all // possibilities and find the minimum else dp[i][j] = 1 + min(dp[i][j-1], // Insert dp[i-1][j], // Remove dp[i-1][j-1]); // Replace } } return dp[m][n]; }
時間復雜度：O(m*n)
空間復雜度：O(m*n)
參考：