[原創] Matlab 指派問題模型代碼

指派問題的基本內容

一般來說指派問題解決的是如何將任務分配到人，使得任務完成的效益最大化(成本型效益則求最小值，利潤型效益則求最大值)。上述問題一個 0 - 1 整數規划問題。

問題圍繞着任務和人展開，即存在着 m 個任務，以及 n 個人。每個人處理每個任務都會有對應的效益，將所有人的情況寫在一起，就組成了一個 m*n 的效益矩陣。

當 m = n 時，即此時，任務數和人數相等，那么每個人都會處理一項任務，存在如下約束：

對於任務來說，每個任務必須分配一個人；

對於人來說，每個人必須分配一個任務。

類似的，當 m < n 時，任務數小於人數，則存在如下約束：

對於任務來說，每個任務必須分配一個人；

對於人來說，每個人可能會被分配到一個任務，也可能沒有分配到任務。

當 m > n 時，任務數大於人數，則存在如下約束：

對於任務來說，每個任務必須分配一個人；

對於人來說，每個人可能會被分配到一個或者多個任務，但最多不超過任務總數。

模型調用形式

 [x,min_fval,exitflag] = myTaskArrange2(f)

調用說明：

輸入變量為一個 m*n 的效益矩陣，其中 m 行為 m 個任務， n 列為 n 個人。

輸出變量 x 為與效益矩陣同型的 0-1 矩陣，1表示被安排，0表示不被安排；min_fval 為最優目標值；exitflag 為退出標識符，一般等於 1 表示解收斂。

模型代碼

function [x,min_fval,exitflag] = myTaskArrange2(f)
%% 程序功能說明
%求解不平衡任務指派問題
%====輸入參數====
%f            m行n列的效益矩陣，m個任務，n個人，
%====輸出參數====
%x            目標函數取最小值時的自變量值
%min_fval     目標函數的最小值
% exitflag    退出標識符
%程序編寫時間：2019年09月

%% 程序主體
[m,n] = size(f); % 獲取效益矩陣中任務的個數和人的個數

% 按行拉成一列向量
f = f';
F = f(:);

% 構造等式約束（每一行加起來等於1，即每個任務必須分配一人）
Aeq = cell(m,m);
Aeq(:) = {zeros(1,n)};
Aeq(eye(m,m)==1) = {ones(1,n)};
Aeq = cell2mat(Aeq);
Beq = ones(m,1);

% 取整變量地址
intcon = 1:m*n;

% 變量取值范圍（大於0小於1）
LB = zeros(m*n,1);
UB = ones(m*n,1);

if m == n       % 如果任務數等於人數
    % 構造等式約束（每個人一定會被安排）
    Aeq2 = repmat(eye(n,n),1,m);
    Beq2 = ones(n,1);
    Aeq = [Aeq;Aeq2];
    Beq = [Beq;Beq2];
    
    % 整數規划求解
    [x,min_fval, exitflag] = intlinprog(F,intcon,[],[],Aeq,Beq,LB,UB);
    
elseif m < n     % 如果任務數小於人數
    % 構造不等式約束（每一列加起來大於0小於1，即每個人可能被安排也可能不被安排一個任務）
    A = repmat(eye(n,n),1,m);
    B = ones(n,1);
    % 利用整數規划函數求解
    [x,min_fval, exitflag] = intlinprog(F,intcon,A,B,Aeq,Beq,LB,UB);
    
elseif m > n      % 如果任務數大於人數
    % 構造不等式約束（每一列加起來大於1小於m，即每個人可能被安排一個或者多個任務，最多不超過任務數m）
    A = repmat(eye(n,n),1,m);
    B = ones(n,1)*m;
    % 利用整數規划函數求解
    [x,min_fval, exitflag] = intlinprog(F,intcon,A,B,Aeq,Beq,LB,UB);
end
%% 將結果還原成效益矩陣對應形式
x = reshape(x,n,m)';

測試算例

為了驗證本模型的效果，提供如下測試算例，進行驗證：

% 4項任務，4個人完成 最優解：8
f1 = [6,1,3,8;
    6,3,5,2;
    1,1,1,4;
    7,2,5,2];

% 4項任務，5個人完成  最優解：127.8
f2 = [37.7,32.9,38.8,37,35.4;
    43.4,33.1,42.2,34.7,41.8;
    33.3,28.5,38.9,30.4,33.6;
    29.2,26.4,29.6,28.5,31.1];

% 5項任務，3個人完成 最優解：116
f3 = [25,39,34;
    29,38,27;
    31,26,28;
    4,20,40;
    37,18,32];


[x,min_fval,exitflag] = myTaskArrange2(f1) % 修改輸入測試效果