一、什么是樹
客觀世界中許多事物存在層次關系
- 人類社會家譜
- 社會組織結構
- 圖書信息管理
其中，人類社會家譜如下圖所示：
通過上述所說的分層次組織，能夠使我們在數據的管理上有更高的效率！那么，對於數據管理的基本操作——查找，我們如何實現有效率的查找呢？
二、查找
查找：根據某個給定關鍵字K，從集合R中找出關鍵字與K相同的記錄
靜態查找：集合中記錄是固定的，即對集合的操作沒有插入和刪除，只有查找
動態查找：集合中記錄是動態變化的，即對集合的操作既有查找，還可能發生插入和刪除（動態查找不在我們考慮范圍內）
2.1 靜態查找
2.1.1 方法1：順序查找
/* c語言實現 */
int SequentialSearch (StaticTable *Tbl, ElementType K)
{
// 在表Tbl[1]~Tb1[n]中查找關鍵字為K的數據元素
int i;
Tbl->Element[0] = K; // 建立哨兵，即沒找到可以返回哨兵的索引0表示未找到
for (i = Tbl->Length; Tbl->Element[i] != K; i--); // 查找成功返回所在單元下標；不成功放回0
return i;
}
順序查找算法的時間復雜度為O(n)
2.1.2 方法2：二分查找（Binary Search）
假設n個數據元素的關鍵字滿足有序（比如：小到大），即\(k_1<k_2<\cdots<k_n\)，並且是連續存放（數組），那么可以進行二分查找。
例：假設有13個數據元素，按關鍵字由小到大順序存放。二分查找關鍵字為444的數據元素過程如下圖：
仍然以上面13個數據元素構成的有序線性表為例，二分查找關鍵字為43的數據元素如下圖：
/* c語言實現 */
int BinarySearch (StaticTable *Tbl, ElementType K)
{
// 在表中Tbl中查找關鍵字為K的數據元素
int left, right, mid, NoFound = -1;
left = 1; // 初始左邊界
right = Tbl->Length; // 初始右邊界
while (left <= right)
{
mid = (left + right) / 2; // 計算中間元素坐標
if (K < Tbl->Element[mid]) right = mid - 1; // 調整右邊界
else if (K > Tbl->Element[mid]) left = mid + 1; // 調整左邊界
else return mid; // 查找成功，返回數據元素的下標
}
return NotFound; // 查找不成功，返回-1
}
# python語言實現
def binary_chop(alist, data):
n = len(alist)
first = 0
last = n - 1
while first <= last:
mid = (last + first) // 2
if alist[mid] > data:
last = mid - 1
elif alist[mid] < data:
first = mid + 1
else:
return True
return False
二分查找算法具有對數的時間復雜度O(logN)
二分查找算法雖然解決了查找的時間復雜度問題，但是對於數據的插入和刪除確是O(n)的，因此有沒有一種數據結構，既可以減少數據查找的時間復雜度，又可以減少數據的插入和刪除的復雜度呢？
三、二分查找判定樹
除了使用上述兩個方法進行關鍵字的查找，我們還可以通過二叉樹這種數據結構完成關鍵字的查找。
從上圖可以看出，如果我們需要尋找數字8，可以通過以下4步實現（可能看不懂，未來會看得懂）：
- 根節點6小於8，往6的右子節點9找
- 結點9大於8，往9的左子結點7找
- 結點7小於8，往7的左子結點找
- 找到8
- 判定樹上每個結點需要的查找次數剛好為該結點所在的層數；
- 查找成功時查找次數不會超過判定樹的深度
- N個結點的判定樹的深度為\([log_2{n}]+1\)
- \(ASL = (4*4+4*3+2*2+1)/11 = 3\)
四、樹的定義
樹（Tree）：\(n(n\geq{0})\)個結點構成的有限集合。
- 當n=0時，稱為空樹
- 對於任一顆非空樹（n>0），它具備以下性質：
- 樹中有一個稱為根（Root）的特殊結點，用r表示
- 其余結點可分為m（m>0）個互不相交的有限集\(T_1,T_2,\cdots,T_m\)，其中每個集合本身又是一棵樹，稱為原來樹的子樹（SubTree）
五、樹與非樹
牢記樹有以下3個特性：
- 子樹是不相交的；
- 除了根結點外，每個結點有且僅有一個父結點；
- 一顆N個結點的樹有N-1條邊
5.1 非樹
5.2 樹
六、樹的一些基本術語
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結點的度（Degree）：結點的子樹個數
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樹的度：樹的所有結點中最大的度數
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葉結點（Leaf）： 度為0的結點
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父結點（Parent）：有子樹的結點是其子樹的根結點的父結點
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子結點（Child）：若A結點是B結點的父結點，則稱B結點是A結點的子結點；子結點也稱孩子結點
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兄弟結點（Sibling）：具有同一父結點的各結點彼此是兄弟結點
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路徑和路徑長度：從結點\(n_1\)到\(n_k\)的路徑為一個結點序列\(n_1 , n_2 ,\cdots, n_k\) , \(n_i\)是\(n_{i+1}\)的父結點。路徑所包含邊的個數為路徑的長度
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祖先結點(Ancestor)：沿樹根到某一結點路徑上的所有結點都是這個結點的祖先結點
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子孫結點(Descendant)：某一結點的子樹中的所有結點是這個結點的子孫
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結點的層次（Level）：規定根結點在1層，其它任一結點的層數是其父結點的層數加1
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樹的深度（Depth）：樹中所有結點中的最大層次是這棵樹的深度
七、樹的表示
7.1 樹的鏈表表示
上圖所示樹的鏈表表示法有很大的缺陷，假設樹的深度非常大，並且不能保證所有樹的子結點都有3個，那么會造成很大程度的浪費。
7.2 樹的鏈表（兒子-兄弟）表示法
為了解決樹的普通鏈表表示會有空間的浪費的缺陷，我們可以把鏈表的指針設置兩個鏈接，一個鏈接指向兒子結點，另一個鏈接指向兄弟結點，如下圖所示：
上圖所示的樹的表示方法，已經足夠完美了，但是如果我們把鏈表表示的樹旋轉45°角，會發現如下圖所示：
經過45°角的旋轉，我們會發現一顆二叉樹（一個結點至多擁有2個子結點的樹），也就是說最普通的樹其實可以通過二叉樹表示，也就是說我們只要把二叉樹研究透了，我們即研究透了樹。