Leetcode 96.不同的搜索二叉樹

給定一個整數 n，求以 1 ... n 為節點組成的二叉搜索樹有多少種？

示例:

輸入: 3
輸出: 5
解釋:
給定 n = 3, 一共有 5 種不同結構的二叉搜索樹:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3
 這道題仔細想其實很簡單的。首先我們先得明白什么是二叉搜索樹，二叉搜索樹又稱二叉查找樹，二叉排序樹，它或者是一棵空樹，或者是具有下列性質的二叉樹: 若它的左子樹不空，
則左子樹上所有結點的值均小於它的根結點的值; 若它的右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大於它的根結點的值; 它的左、右子樹也分別為二叉排序樹。
 
解決這道題用兩個函數：
1. G(n); 表示給定整數n的二叉搜索樹的長度。其中G(0)=G（1）=1；
2. F（i,n）; 表示以i為根節點，數列長度為n的數列能構成不同二叉樹的個數;

因為一個數列，如果它的根節點確定了，那么能構成它的不同二叉搜索樹的左右節點個數也就確定了。G(n)= F(1,n)+F（2,n）+...+F（n,n）。例如求G(8),其中一個以3為根節點的數列其左子樹數為G(3-1)；右子樹數為4,5,6,7,8，
右子樹的算法情況與1,2,3,4,5是一樣的，所以右子樹個數為G（n-3）,可得F(i,n)=G(i-1)*G（n-i);所以G(n)=G（0）*G（n-1）+...+G(n-1)*G(0);由此可看出其實這個G(n)就是卡特蘭數,關於卡特蘭數具體特點，如果不太了解
可以搜索研究一下 。所以有兩個算法。

算法一：動態規則

public class Solution {
  public int numTrees(int n) { int[] G = new int[n + 1]; G[0] = 1; G[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; ++i) { for (int j = 1; j <= i; ++j) { G[i] += G[j - 1] * G[i - j]; } } return G[n]; } }

 

算法二：利用數學公式

       G(0)=G(1)=1;   G（n+1）=2(2n+1)G（n）/(n+2)

 

class Solution {
public: int numTrees(int n) { long G = 1; for(int i = 0; i < n; i++) G= G * 2 * (2 * i + 1) /(i + 2); return G; } };