UVa 1671 語言的歷史——判斷兩個DFA是否等價

題意

一個DFA可以用一個5元組  $((Q, \sum , \delta , q_0, F))$ 表示，其中 $Q$ 為狀態集，$\sum$ 為字母表，$\delta$ 為轉移函數，$q_0$ 為起始狀態，$F$ 為終態集。給出兩個 DFA（有限狀態自動機），判斷他們是否等價。

分析

一個簡單的做法：把 “a和b” 等價轉化為 "a" 的補和 "b" 不相交，且 "b" 的補和 'a" 不相交。

如何求 DFA 的補？也就是把接受的串變成不接受的串，不接受的串變成接受的串。由此可想到，只需把終態和非終態互換即可。

如何判斷兩個 DFA 不相交？可試着找一個可同時被兩個 DFA 接受的串，如果找不到，則說明兩個 DFA 不相交。如何找到這個串？構造一個新的 DFA，它的每個狀態都可以寫成（$q_1, q_2$），其中 $q_1$ 和 $q_2$ 分別是兩個 DFA 中的狀態，當且僅當 $q_1$ 和 $q_2$ 分別是兩個 DFA 的終態時，（$q_1, q_2$）是新DFA的終態。這樣，問題轉化為：找一個能被新DFA接受的串。只需要用經典的圖的遍歷（DFS 或 BFS）即可。

還有一個問題，對於“該轉移不存在” 的處理。雖然可以直接處理，但更經典的做法是加一個“所有轉移都指向自己“的”孤島狀態”，把所有不存在的轉移都改成轉移到孤島。在下面的代碼實現中，是將每個狀態編號加1，留出狀態0作為孤島狀態。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 2000 + 10;
const int max_siz = 26 + 5;
int siz, sta1, sta2, a1[maxn][max_siz], a2[maxn][max_siz];
bool vis[maxn][maxn];

bool judge(int x1, int x2)   //終態判定
{
    return a1[x1][0] ^ a2[x2][0];
}

bool dfs(int x1, int x2)   //存在公共串返回true
{
    vis[x1][x2] = true;
    if(judge(x1, x2))  return true;

    for(int i = 1;i <= siz;i++)
    {
        int next1 = a1[x1][i], next2 = a2[x2][i];
        if(!vis[next1][next2])
        {
            if(dfs(next1, next2))
                return true;
        }
    }
    return false;
}

int main()
{
    int kase = 0;
    while(scanf("%d", &siz) == 1 && siz)
    {
        scanf("%d", &sta1);
        for(int i = 1;i <= sta1;i++)
            for(int j = 0;j <= siz;j++)
            {
                int tmp;
                scanf("%d", &tmp);
                a1[i][j] = tmp+(j!=0);
            }

        scanf("%d", &sta2);
        for(int i = 1;i <= sta2;i++)
            for(int j = 0;j <= siz;j++)
            {
                int tmp;
                scanf("%d", &tmp);
                a2[i][j] = tmp+(j!=0);
            }


        memset(vis, 0, sizeof(vis));
        printf("Case #%d: ", ++kase);
        if(dfs(1, 1))  printf("No\n");
        else  printf("Yes\n");
    }
}

 

 

參考鏈接：

1. https://www.luogu.org/problemnew/solution/UVA1671

2. https://blog.csdn.net/programmerya/article/details/81350287