判斷兩個線段是否相交

我們的問題是這樣的：給定一條線段的起點為$A_1$、終點為$A_2$，另一條線段的起點為$B_1$、終點為$B_2$，問線段$A_1A_2$和線段$B_1B_2$是否相交？

我們首先解釋一下，兩條線段相交的概念是指，存在一個點，這個點同時在兩條線段上。

方法一（解方程法）：

容易知道，線段$A_1A_2$上的點的集合為$A = A_1 * (1 - r_1) + A_2 * r_1$，其中$r_1 \in [0, 1]$；同理，線段$B_1B_2$上的點的集合為$B = B_1 * (1 - r_2) + B_2 * r_2$，其中$r_2 \in [0, 1]$。一般的，如果不對$r_1$（或$r_2$）的范圍作約束，得到的點集構成該線段所在的直線。那么這個問題就簡單了，我們可以首先將兩條線段延展成直線，求出兩條直線的交點，根據交點位置可以分別求出$r_1$和$r_2$，然后判斷$r_1$和$r_2$是否同時在$[0, 1]$區間即可。我們把$r_1$（$r_2$）叫做點$A$（$B$）在線段$A_1A_2$（線段$B_1B_2$）上的比例。

兩直線的交點滿足$A_1 * (1 - r_1) + A_2 * r_1 = B_1 * (1 - r_2) + B_2 * r_2$，稍微變形可得$(A_2 - A_1) * r_1 - (B_2 - B_1) * r_2 = B_1 - A_1$，即$$\overrightarrow{A_1A_2} * r_1 - \overrightarrow{B_1B_2} * r_2 = \overrightarrow{A_1B_1}$$，表示為向量矩陣的形式為（令$\overrightarrow{r} = (r_1, r_2)^T$）：$$[\overrightarrow{A_1A_2}, - \overrightarrow{B_1B_2}] * \overrightarrow{r} = \overrightarrow{A_1B_1}$$

我們的目的是根據以上二元方程組求出$r_1$和$r_2$，但是在此之前，我們要判斷一些特殊情況：

(1). 如果$\overrightarrow{A_1A_2} = \overrightarrow{0}$，即線段$A_1A_2$是一個點，這時，等式退化為$- \overrightarrow{B_1B_2} * r_2 = \overrightarrow{A_1B_1}$，兩個方程一個未知量，如果有解，則點$A_1$（或$A_2$）在線段$B_1B_2$上，即兩“線段”相交；否則，不相交。

(2). 如果$\overrightarrow{B_1B_2} = \overrightarrow{0}$，即線段$B_1B_2$是一個點，這時，等式退化為$\overrightarrow{A_1A_2} * r_1 = \overrightarrow{A_1B_1}$，兩個方程一個未知量，如果有解，則點$B_1$（或$B_2$）在線段$A_1A_2$上，即兩“線段”相交；否則，不相交。

(3). 除以上兩種情況以外，如果兩直線平行即$\overrightarrow{A_1A_2} // \overrightarrow{B_1B_2}$，這時要分兩種情況，如果兩線段平行且有平行距離，則不相交；否則，兩線段在同一直線上，這時又分兩種情況，兩線段是否有重合部分，如果有則相交，如果沒有則不相交。至於如何判斷在同一直線上的兩條線段是否有重合部分，可以利用快速排斥實驗，后面還會講到。

(4). 除以上三種情況外，矩陣$[\overrightarrow{A_1A_2}, - \overrightarrow{B_1B_2}]$可逆，我們可以直接求出$r_1$和$r_2$，然后判斷$r_1$和$r_2$是否同時在$[0, 1]$區間即可。

方法二（外積法）：

 可以看到，解方程法需要判斷幾種特殊情況，而且涉及到除法運算，在計算機實現時對調用頻率比價高、效率要求比較高的場景也不夠“完美”。下面介紹一種基於向量外積的方法，判斷邏輯更簡潔，而且也不涉及除法操作。

向量外積：

首先簡單介紹一下向量外積。向量外積，也叫向量叉乘。與內積不同的是，向量外積的結果還是一個向量，它的模為兩個向量圍成的平行四邊形的面積，方向與平行四邊形所在的平面垂直，指向由右手螺旋定則確定。寫成公式為：

$$\left | \overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} \right | = \left | \overrightarrow{a} \right | \bullet \left | \overrightarrow{b} \right | \bullet sin \theta $$

其中，$\theta$為兩個向量的夾角。

如果知道兩個向量的坐標$\overrightarrow{a} = (a_x, a_y, a_z)$、$\overrightarrow{b} = (b_x, b_y, b_z)$，則兩個向量的外積的坐標運算為：

$$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = (a_yb_z - a_zb_y) \overrightarrow{i} + (a_zb_x - a_xb_z)\overrightarrow{j} + (a_xb_y - a_yb_x)\overrightarrow{k}$$

為了便於記憶，還可以寫為三階行列式的形式：

$$\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b} = det \left | \begin{array}{cc} \overrightarrow{i} & \overrightarrow{j} & \overrightarrow{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{array} \right |$$

利用外積判斷點與線段的相對位置：

假設有向線段為$\overrightarrow{AB}$，點為$C$，首先計算外積$\overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{AB} = (\overrightarrow{AC}_x \cdot \overrightarrow{AB}_y - \overrightarrow{AC}_y \cdot \overrightarrow{AB}_x)\overrightarrow{k}$ （因為有$\overrightarrow{AB}_z = 0 $、$\overrightarrow{AC}_z = 0 $）。根據右手螺旋定則，如果$\overrightarrow{k}$的系數為正數，說明點C在線段AB的右側；如果為負數，說明點C在線段AB的左側；如果為0，說明點C在線段AB所在的直線上。寫成偽代碼為：

  //*************************************************************************
  // \brief: 計算兩個向量的外積（叉乘）。可以根據結果的符號判斷三個點的位置關系。
  // \Param: Point A 兩個向量的公共起點。
  // \Param: Point B 第一個向量的終點。
  // \Param: Point C 第二個向量的終點。
  // \Returns: double 向量AC與向量AB的外積。如果結果為正數，表明點C在直線AB（直線方向為從A到B）的右側；
  // 如果結果為負數，表明點C在直線AB（直線方向為從A到B）的左側；如果結果為0，表明點C在直線AB上。
　//*************************************************************************

double cross(Point A, Point B, Point C) {
    double cross1 = (C.x - A.x) * (B.y - A.y); double cross2 = (C.y - A.y) * (B.x - A.x); return (cross1 - cross2); }

線段相交判斷：

回到一開始的問題，要判斷線段$A_1A_2$和線段$B_1B_2$是否相交，首先計算：

T1 = cross(A1, A2, B1);
T2 = cross(A1, A2, B2);
T3 = cross(B1, B2, A1);
T4 = cross(B1, B2, A2);

根據以上結果即可判斷兩條線段的相交關系：

(1). 如果(T1 * T2) > 0) || (T3 * T4) > 0，說明一條線段的兩個端點在另一條線段的同側，這兩條線段肯定不相交。

(2). 如果T1 == 0 && T2 == 0，說明兩條線段共線，是否相交還需要進一步判斷。這時可以通過判斷兩條線段張成的矩形是否相交來判斷，而兩個矩形是否相交可以通過快速排斥實驗來判斷。快速排斥實驗稍后介紹。

(3). 其他情況，兩個線段一定相交。

可以看到，這種方法不需要對線段的起終點重合（線段退化為一個點）做特殊判斷，也不需要對線段平行（除了共線的情況）做特殊判斷。純幾何方法，邏輯更簡潔。

對第3種情況補充說明如下：除了第1、2種情況外（T1、T2不同號、且不同為0），T1、T2的取值還有6種情況：(+, 0)、(+, -)、(-, 0)、(-, +)、(0, +)、(0, -)。當T1、T2為(+, 0)時，T3、T4的取值只可能是(-, 0)、(-, +)、(0, +)，無論哪種情況，兩線段都相交。當T1、T2為(+, -)時，T3、T4的取值只可能是(-, 0)、(-, +)、(0, +)，無論哪種情況，兩線段都相交；當T1、T2為(-, 0)或(-, +)時，情況與前兩個類似。當T1、T2為(0, +)時，T3、T4的取值只可能是(0, -)、(+, -)、(+, 0)，無論哪種情況，兩線段都相交；當T1、T2為(0, -)時，與前一種情況類似。

 

補充：快速排斥實驗

快速排斥實驗用於判斷兩個矩形是否相交，因為是比較簡單、也比較基礎的方法，在這里就不詳細介紹了，對原理感興趣的可以參考http://blog.sina.com.cn/s/blog_71dbfe2e0101f7zb.html 一文。直接給出偽代碼實現：

//*************************************************************************
// \brief: 	快速排斥實驗，判斷兩個線段張成的矩形區域是否相交。
// \Param: 	Point S1 第一條線段的起點。
// \Param: 	Point E1 第一條線段的終點。
// \Param: 	Point S2 第二條線段的起點。
// \Param: 	Point E2 第二條線段的終點。
// \Returns: 	bool 兩個線段張成的矩形區域是否相交。具有對稱性，即交換兩條線段（參數S1與S2交換、E1與E2交換），結果不變。
//*************************************************************************
bool rectsIntersect(Point S1, Point E1, Point S2, Point E2) {
　　if ( Gmin(S1.y, E1.y) <= Gmax(S2.y, E2.y) &&
        Gmax(S1.y, E1.y) >= Gmin(S2.y, E2.y) &&
        Gmin(S1.x, E1.x) <= Gmax(S2.x, E2.x) &&
        Gmax(S1.x, E1.x) >= Gmin(S2.x, E2.x)) {
            return true;
    }
    return false;
}

因此，判斷兩條線段相交的偽代碼為：

bool segmentsIntersect(Point A1, Point A2, Point B1, Point B2) {
    double T1 = cross(A1, A2, B1);
    double T2 = cross(A1, A2, B2);
    double T3 = cross(B1, B2, A1);
    double T4 = cross(B1, B2, A2);
　　if (((T1 * T2) > 0) || ((T3 * T4) > 0)) {    // 一條線段的兩個端點在另一條線段的同側，不相交。（可能需要額外處理以防止乘法溢出，視具體情況而定。）
        return false;
    } else if(T1 == 0 && T2 == 0) {             // 兩條線段共線，利用快速排斥實驗進一步判斷。此時必有 T3 == 0 && T4 == 0。
        return rectsIntersect(A1, A2, B1, B2);
    } else {                                    // 其它情況，兩條線段相交。
        return true;
    }
}

此文完。