問題：給出兩條線段，問兩線段是否相交？
向量叉乘（行列式計算）：向量a（x1，y1），向量b（x2，y2）：
首先我們要明白一個定理：向量a×向量b（×為向量叉乘），若結果小於0，表示向量b在向量a的順時針方向；若結果大於0，表示向量b在向量a的逆時針方向；若等於0，表示向量a與向量b平行。（順逆時針是指兩向量平移至起點相連，從某個方向旋轉到另一個向量小於180度）。如下圖：
在上圖中，OA×OB = 2 > 0， OB在OA的逆時針方向；OA×OC = -2 < 0,OC在OA的順勢針方向。即叉乘結果大於0，后一個在前一個的逆時針方向；小於零，后一個在前一個的順時針方向。
那如何來判斷兩線段是否相交呢？
假設有兩條線段AB，CD，若AB，CD相交，我們可以確定：
1.線段AB與CD所在的直線相交，即點A和點B分別在直線CD的兩邊；
2.線段CD與AB所在的直線相交，即點C和點D分別在直線AB的兩邊；
上面兩個條件同時滿足是兩線段相交的充要條件，所以我們只需要證明點A和點B分別在直線CD的兩邊，點C和點D分別在直線AB的兩邊，這樣便可以證明線段AB與CD相交了。
那判斷兩線段是否相交與一開始提到的向量叉乘定理有什么關系呢？有，我們可以通過叉乘來證明上面說的充要條件。看下圖：
在上圖中，線段AB與線段CD相交，於是我們可以得到兩個向量AC，AD，C和D分別在AB的兩邊，向量AC在向量AB的逆勢針方向，AB×AC > 0；向量AD在向量AB的順勢針方向，AB×AD < 0，兩叉乘結果異號。
這樣，方法就出來了：如果線段CD的兩個端點C和D，與另一條線段的一個端點（A或B，只能是其中一個）連成的向量，與向量AB做叉乘，若結果異號，表示C和D分別在直線AB的兩邊，若結果同號，則表示CD兩點都在AB的一邊，則肯定不相交。
當然，不能只證明C，D在直線AB的兩邊，還要用相同的方法證明A，B在直線CD的兩邊，兩者同時滿足才是線段相交的充要條件。
不過，線段相交還有一些特殊情況：
1.只有1點相交，如下圖：
上圖中，線段AB與CD相交於C點，按照之前介紹的方法，我們可以連成兩向量AD和AC，這時候，我們發現，AC與AB共線，AB×AC = 0；而AB×AD < 0；兩者並不異號，可實際上仍然相交。所以當出現兩叉乘結果中，有一方為0，也可以看成點CD在直線AB的兩邊。
2.兩條線段重合，如下圖：
在上圖中，線段AB與線段CD重合，重合部分為CB，這種重合的情況要特殊判斷：
首先，我們給沒條線段的兩個端點排序，大小判斷方法如下：橫坐標大的點更大，橫坐標相同，縱坐標大的點更大。
排好序后，每條線段中，小的點當起點，大的當終點。我們計算向量AB×向量CD，若結果為0，表示線段AB平行CD，平行才有了重合的可能；但平行也分共線和不共線，只有共線才有可能重合，看下圖：
上圖中，第一種情況不共線，第二種情況共線。那如何來判斷是否共線呢？
我們可以在兩條線段中各取一點，用這兩點組成的向量與其中一條線段進行叉乘，結果若為0，就表示兩線段共線，如下圖：
我們取向量BC，若BC×CD = 0，表示兩點共線，即是第二種情況，否則就是第一種情況。第一種情況肯定不相交。猴子為什么不喜歡平行線？因為他們沒有相交。。。（尬）
然然然然然而，即使他們共線，卻還是不一定重合，就如上圖中第二種情況。這時候，之前給點排序的妙處就體現出來了：
若一條線段AB與另一條線段CD共線，且線段AB的起點小於等於線段CD的起點，但線段AB的終點（注意是終點）大於等於線段CD的起點（注意是起點），或者交換一下順序，CD的起點小於AB的起點......只要滿足其中一個，就表示有重合部分。
下面來道例題：51nod1264（模板）
代碼：
#include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<string> #include<cmath> #include<algorithm> #include<stack> #include<climits> #include<queue> #define eps 1e-7 #define ll long long #define inf 0x3f3f3f3f #define pi 3.141592653589793238462643383279 using namespace std; struct node{ double x,y; }; double cmp(node a,node b) //給線段的坐標排序 { if(a.x != b.x) return a.x < b.x; else return a.y < b.y; } double compute(double x1,double y1,double x2,double y2) //計算叉乘的結果 { return x1*y2 - y1*x2; } int compare(node a,node b) //比較坐標的大小 { if(a.x < b.x || a.x == b.x && a.y < b.y) return -1; else if(a.x == b.x && a.y == b.y) return 0; else return 1; } int main() { int t; node po[4]; cin>>t; while(t--) { for(int i=0; i<4; ++i) scanf("%lf%lf",&po[i].x,&po[i].y); sort(po,po+2,cmp); //給第一條線段的坐標排序 sort(po+2,po+4,cmp); //給第二條排序 /*for(int i=0; i<4; ++i) cout<<po[i].x<<' '<<po[i].y<<endl;*/ int flag; if(!compare(po[0],po[2]) || !compare(po[0],po[3]) || !compare(po[1],po[2]) || !compare(po[1],po[3])) //若有某一點重合，則肯定相交 flag = 1; else if(compute(po[0].x-po[1].x , po[0].y-po[1].y , po[2].x-po[3].x , po[2].y-po[3].y) ==0 ) //若兩線段平行 { if(compute(po[0].x-po[1].x , po[0].y-po[1].y , po[0].x-po[3].x , po[0].y-po[3].y) == 0) //若兩線段共線 { if(compare(po[0],po[2]) <= 0 && compare(po[1],po[2]) >= 0) //第一條起點小於第二條起點，第一條終點大於第二條起點 flag = 1; else if(compare(po[2],po[0]) >= 0 && compare(po[3],po[0]) <= 0) //第二條起點小於第一條起點，第二條終點大於第一條起點 flag = 1; else flag = 0; } else flag = 0; } else if(compute(po[0].x-po[1].x , po[0].y-po[1].y , po[2].x-po[3].x , po[2].y-po[3].y) !=0 ) //若不平行 { double num1,num2,num3,num4; num1 = compute(po[0].x-po[1].x , po[0].y-po[1].y , po[0].x-po[2].x , po[0].y-po[2].y); //計算第一條的兩個端點 num2 = compute(po[0].x-po[1].x , po[0].y-po[1].y , po[0].x-po[3].x , po[0].y-po[3].y); //在第二條線段的兩邊 num3 = compute(po[0].x-po[2].x , po[0].y-po[2].y , po[2].x-po[3].x , po[2].y-po[3].y); //計算第二條的兩個端點 num4 = compute(po[1].x-po[2].x , po[1].y-po[2].y , po[2].x-po[3].x , po[2].y-po[3].y); //在第一條線段的兩邊 //cout<<num1<<' '<<num2<<' '<<num3<<' '<<num4<<endl; if(num1*num2 < 0 && num3*num4 <= 0 || num1*num2 <= 0 && num3*num4 < 0) //等於0表示成180度角 flag = 1; else flag = 0; } else flag = 0; if(flag) cout<<"YES\n"; else cout<<"NO\n"; } }
參考博客：http://blog.sina.com.cn/s/blog_735b07180100uivu.html