仔細研究歷年研究生數學建模比賽出題的類型，就會發現，幾乎年年在考有關飛行器，無人機這樣的問題，因此，有必要好好將這一類題目做一個總結歸納。
2018年研究生數學建模E題目：《多無人機對組網雷達的協同干擾》
基本概念
18年E題目是有關多無人機協同干擾組網雷達的問題，光題目說明就有一兩千字，題目確實比較復雜。
認真閱讀上下文后，可以大致理解題設場景和基本要求。所有的問題都基於一個同源干擾的概念展開。
無人機如何干擾雷達？
要理解同源干擾，首先要理解一架無人機是如何干擾一台雷達的。
簡單來說，就是雷達與無人機共線，無人機會通過反射信號使得雷達誤以為在其延長線上會存在一個點，並將這個點當作檢測到的敵機，該點稱之為虛假目標點。“虛假”二字表明了這個點是干擾產生的。
如何騙過組網雷達？
在電子對抗領域，偵察敵機的入侵絕對不可能僅憑一台雷達來做判斷。為了避免 “無人機-雷達” 這種一對一干擾造成誤判，產生了同源檢驗技術。即在同一時刻，多架無人機分別干擾組網雷達中的某一台雷達，這樣就會產生多個虛假目標點。假如這多個虛假目標點中，至少有三個是在同一個位置時，就斷定這個點是一個真實的點，是由敵機產生的。這樣就相當於騙過了組網雷達。
什么是虛假航跡點？
組網雷達每個時刻都會做同源干擾檢測，如果在各個時刻，無人機都可以騙過組網，產生對應的虛假目標點，那么這些虛假目標點就可以看作是由真實的敵機產生的飛行軌跡，亦即虛假航跡點。
無人機協同干擾怎么理解？
所謂的無人機協同干擾，就是給定一個虛假航跡（每個時刻下的空間坐標），要求結合雷達探測范圍、無人機飛行限制條件（如飛行速度，飛行高度等），合理安排多架無人機飛行（每個時刻下應該飛到哪個空間位置），使它們在每個時刻下，都可以騙過組網雷達（即每個時刻的虛假航跡點都是可以通過同源檢驗的），這樣就表示無人機通過協同干擾雷達，使得對方的組網雷達檢測到有異常的敵機飛行軌跡，驚擾到對方，使之產生混亂，進而獲得有利戰機。
已知條件
對於本題目的中的三個問題來說，都遵循一些基本的已知條件：
- 假目標的形成滿足距離欺騙原理
- 航跡點形成滿足同源檢驗原理
- 5個雷達坐標給定
- 無人機的飛行參數給定：航速：120km ~ 180km/h ,飛行高度：2000m ~ 2500m，飛行間距：100m以上，最大加速度：不超過10 米每二次方秒
- 雷達探測范圍：150km
- 雷達每 10s 更新一批航跡點
問題場景演示
根據題目給的行航跡點坐標，則空間的飛行軌跡如圖所示：
雷達的空間相對位置如圖：
所有問題圍繞這樣一個場景來展開，給定5個雷達，給定任意架數的無人機，令其在飛行參數范圍下，在2000m ~ 2500m高空范圍下，進行組網雷達干擾，生成所設定的航跡，如圖所示：
無人機空間坐標解算
根據題目有關無人機距離欺騙干擾雷達的原理，當干擾成功時，‘’雷達-無人機-假目標點“三者在一條直線上。如下圖所示：
根據三角形相似原理，雷達、無人機、航跡點三者的坐標將滿足如下關系式（注意觀察紅色線條及其相關的線段）：
於是當 $ z_a$ 給定時，便可以解算出對應的無人機空間坐標：
無人機飛行能力分析
根據無人機飛行參數的規定，飛行速度范圍在120km/h ~ 180km/h（換算后為33.33m/s ~ 50m/s），在給定的航跡飛行時間范圍下，無人機能夠飛到的最遠距離可以輕松地計算出來，我們稱這樣的計算過程為“無人機飛行能力分析”。
在問題一中，無人機飛行時間為20個航跡點時間，時間間隔為10s，共飛行190s，則無人機在速度和時間約束下，能夠飛到的最遠距離為 (33.33 ~ 50)*190 = (6332.7 ~ 9500)m。對於不同的飛行高度，取兩個極端值，2000m高（紅色）度和2500m高度（黑色），同色的兩個圓表示最小、最大距離。畫出示意圖：
在問題二三中，飛行時間為5分鍾，即飛行300s，生成31個航跡點，能夠飛到的最遠距離為 (33.33 ~ 50)*300 = (9999 ~ 15000)m，同樣的畫出示意圖：
飛行能力重要結論
很明顯，不管無人機怎么飛行，一旦確定干擾某一雷達后，就只可能繼續干擾該雷達，不能夠飛離該片區域去干擾別的雷達（要干擾雷達，就需要飛到雷達與航跡點的連線上，即圖中藍色的連線）。
這個結論非常的重要！！因為有了這個結論后，一架無人機就只負責干擾一台雷達，問題得到簡化。
無人機干擾能力分析
由無人機飛行能力分析，我們可以確定雷達的干擾模式為一對一持續干擾模式。這樣我們就可以單獨去考慮每一台雷達的干擾情況了。對於一個雷達來說，在20個航跡點時間下，無人機要對其造成干擾，則一定出現在雷達與行航跡點連線上，如下圖所示（以2000m高度為例）：
圖中紅色的的為解算出的20個時刻下無人機的飛行點位，將其俯視圖畫出，如圖所示：
20個時刻，對應於20個飛行點位，而這20個飛行點位，由多架無人機協同產生。也就是說，每個時刻的點位將會分配給不同的無人機去實現覆蓋，即在對應時間下，飛往對應位置實現該時刻的雷達干擾任務。那么無人機干擾雷達的能力怎么分析？換句話說，一架無人機能夠在其飛行過程中，實現幾個飛行點位的覆蓋？
這個問題，需要結合飛行參數，以及飛行時間來計算飛行點位是否落在無人機各時刻飛行距離范圍內，能夠落在范圍內，則表示點位覆蓋任務能夠完成，否則不能。
干擾能力重要結論
通過上面的點位路徑可以很明顯的看出，所有點並不在一條直線上，所以若無人機僅作直線飛行的話，最多覆蓋兩個點，絕對不可能覆蓋到第三個點，這個結論也十分重要，問題又得到了進一步化簡。
點位覆蓋判斷矩陣
這個問題很好計算，首先計算出這20個飛行點位兩兩之間的距離，而這兩兩之間的點位，時間間隔也可以表達出來，乘以飛行速度范圍后，得到一個距離區間，判斷是否落在區間，若落在區間則將兩個點位對應的序號作為行列，記作1，反之則記作0。這樣就可以得到一個20*20的點位覆蓋判斷矩陣。
可以看到，2000m飛行高度下能覆蓋的點位比較少。並且集中在最后幾個時刻點，最后幾個時刻相對來說能夠被覆蓋的點位更多，這個是普遍規律。
最少無人機協同策略
對於上述點位覆蓋矩陣，我們需要做的是，使用最少的無人機協同完成點位覆蓋任務。根據上述普遍規律，我們從大號開始找，當存在不為0的行時，以最小行號取出，並記錄下來，將對應列抹零，繼續判斷。當找到的全是0時，則需要增派無人機。最終將會以最少的無人機實現20個點位覆蓋。通過該策略可以得到如下無人機協同飛行路徑規划表（以上面的矩陣為例）：
| 起始點位 | 終到點位 |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 3 |
| 4 | 4 |
| 5 | 5 |
| 6 | 6 |
| 7 | 7 |
| 8 | 8 |
| 9 | 9 |
| 10 | 10 |
| 11 | 11 |
| 12 | 20 |
| 13 | 19 |
| 14 | 18 |
| 15 | 15 |
| 16 | 17 |
其中起始點位與終到點位相同的，表示改點位無法與其他點位在一次飛行中覆蓋到，需要增派無人機單獨覆蓋。可見此時至少需要16架無人機完成2000m高度下對雷達1的干擾任務。
無人機各時刻飛行點位按速度解算
根據上面的分析，可以計算出無人機起始和終到點位，而題目要求最終結果要給出每架無人機的各時刻空間坐標。因此我們只需要按照起始終到點位，以及時間間隔重新解算飛行速度，再根據飛行方向（起始與終到點位連線即為方向），將速度分解到各個坐標軸方向，計算分速度，再計算起始點位之前以及之后的各個點位的空間坐標即可。
問題一的解答
前面講述了對於一台雷達的干擾問題，而對於多雷達的同源檢驗，其實是一個可行解組合問題。對於每一個雷達，都可以解算出，至少需要多少架無人機來完成干擾任務。針對每一台雷達，對2000m ~ 2500m高空進行遍歷求解，可以得到無人機需求變化。
觀察曲線變化規律，就可以發現，雷達1和雷達5最難實現干擾，在2000m ~ 2500m高度變化下，無人機始終要派出較多數量，並且大部分都支持一個點位覆蓋，效率非常低下。而對於雷達2、雷達3、雷達4來說，無人機派出數量和增派數量在2450m高空及以上時，需求數量較少。因此假如要以最少無人機去實現同源檢驗，完成航跡點生成任務，就可以只干擾雷達2、雷達3、雷達4。需要的最少數量為 10 + 10 + 11 = 31 架無人機。其中干擾雷達2、雷達3的無人機均可實現2個點位覆蓋，干擾雷達4的無人機，有9架可實現2個點位覆蓋，另外2架需要增派，僅覆蓋一個點位。
其實這個結果也符合實際情況，因為在相對位置上，雷達2、雷達3、雷達4更靠近航跡，而雷達1、雷達5相對較遠。
未完待續...
我太難了！！