matlab學習——04圖與網絡(最短路,最小生成樹,最大流)

04圖與網絡

 

1.最短路

(1) 自己寫的dijstra算法

format compact;
clc,clear all
a=zeros(6);
a(1,2)=50;a(1,4)=40;a(1,5)=25;a(1,6)=10;
a(2,3)=15;a(2,4)=20;a(2,6)=25;
a(3,4)=10;a(3,5)=20;
a(4,5)=10;a(4,6)=25;
a(5,6)=55;
a=a+a'
a(find(a==0))=inf %將a=0的數全部替換為無強大
pb(1:length(a))=0;pb(1)=1;  %當一個點已經求出到原點的最短距離時，其下標i對應的pb(i)賦1
index1=1; %存放存入S集合的順序
index2=ones(1,length(a)); %存放始點到第i點最短通路中第i頂點前一頂點的序號
d(1:length(a))=inf;d(1)=0;  %存放由始點到第i點最短通路的值
temp=1;  %temp表示c1,算c1到其它點的最短路。
while sum(pb)<length(a)  %看是否所有的點都標記為P標號
    tb=find(pb==0); %找到標號為0的所有點,即找到還沒有存入S的點
    d(tb)=min(d(tb),d(temp)+a(temp,tb));%計算標號為0的點的最短路，或者是從原點直接到這個點，又或者是原點經過r1,間接到達這個點
    tmpb=find(d(tb)==min(d(tb)));  %求d[tb]序列最小值的下標
    temp=tb(tmpb(1));%可能有多條路徑同時到達最小值，卻其中一個，temp也從原點變為下一個點
    pb(temp)=1;%找到最小路徑的表對應的pb(i)=1
    index1=[index1,temp];  %存放存入S集合的順序
    temp2=find(d(index1)==d(temp)-a(temp,index1));
    index2(temp)=index1(temp2(1)); %記錄標號索引
end
d, index1, index2

a =
     0    50     0    40    25    10
    50     0    15    20     0    25
     0    15     0    10    20     0
    40    20    10     0    10    25
    25     0    20    10     0    55
    10    25     0    25    55     0
a =
   Inf    50   Inf    40    25    10
    50   Inf    15    20   Inf    25
   Inf    15   Inf    10    20   Inf
    40    20    10   Inf    10    25
    25   Inf    20    10   Inf    55
    10    25   Inf    25    55   Inf
d =
     0    35    45    35    25    10
index1 =
     1     6     5     2     4     3
index2 =
     1     6     5     6     1     1

 

(2) 輸入鄰接矩陣帶包

format compact;
% 輸入鄰接矩陣
clc,clear
a=zeros(7);
a(1,2)=4;a(1,3)=2;
a(2,3)=3;a(2,4)=4;a(2,5)=6;
a(3,4)=5;a(3,6)=4;
a(4,5)=2;a(4,6)=7;
a(5,6)=4;a(5,7)=8;
a(6,7)=3;
b=sparse(a); % 構造稀疏矩陣
[x,y,z]=graphshortestpath(b,1,7,'Directed',1,'Method','Bellman-Ford')
% 有向圖，Directed為1為真，方法(Method)默認為Dijstra
p=biograph(b,[],'showW','on');
h=view(p);%顯示各個路徑權值


% 求節點1到節點5的最短路徑
[Dist,Path]=graphshortestpath(b,1,7) 
 
% 將最短路徑的結點以紅色顯示
set(h.Nodes(Path),'Color',[1 0.4 0.4]);
% 將最短路徑的弧以紅色顯示
edges=getedgesbynodeid(h,get(h.Nodes(Path),'ID'));
set(edges,'LineColor',[1 0 0]);
 

 

 (3) 輸入節點和權重帶包

format compact;
% 輸入起點終點和邊長
tic
R = [1,1,1,2,2,3,4];                    % 起點節點
C = [2,3,4,3,5,4,5];                    % 終點節點
W = [3,2,2,1,3,4,3];                    % 對應權值
g = digraph(R,C,W)                     % 創建圖
G1=sparse(R,C,W)
[path,distance] = shortestpath(g,1,5);  % 計算最短路
plot(g)
toc

 

format compact;
s = [1 1 2 2 3 4];  % 起始節點向量
e = [2 3 4 5 5 5];  % 終止節點向量
w = [1 4 2 3 2 2];  % 權向量
g = sparse(s,e,w);  % 構建稀疏矩陣
g(5,5)=0;   % 使稀疏矩陣其余元素為0
 
p=biograph(g,[],'ShowWeights','on');%建立有向圖對象P
h=view(p);%顯示各個路徑權值
 
% 求節點1到節點5的最短路徑
[Dist,Path]=graphshortestpath(g,1,5,'Method','Dijkstra') 
 
% 將最短路徑的結點以紅色顯示
set(h.Nodes(Path),'Color',[1 0.4 0.4]);
% 將最短路徑的弧以紅色顯示
edges=getedgesbynodeid(h,get(h.Nodes(Path),'ID'));
set(edges,'LineColor',[1 0 0]);

>> RCW01
Dist =
     4
Path =
     1     2     5

 

2.最小生成樹

 

format compact;
clc,clear
x=[0 5 16 20 33 23 35 25 10];
y=[15 20 24 20 25 11 7 0 3];
xy=[x;y] % xy 2行9列
d=mandist(xy) % 求xy的兩兩列向量間的絕對值距離(9個點兩兩的距離)
d=tril(d) % 截取matlab工具箱要求的下三角矩陣
G=sparse(d) % 轉化為稀疏矩陣
[ST,pred]=graphminspantree(G,'method','Kruskal') % 調用最小生成樹命令
st=full(ST) % 把最小生成樹的稀疏矩陣轉化為普通矩陣
TreeLength=sum(sum(st)) % 求最小生成樹的長度
view(biograph(ST,[],'ShowArrows','off','ShowWeights','on')) % 畫出最小生成樹

 

xy =
     0     5    16    20    33    23    35    25    10
    15    20    24    20    25    11     7     0     3
d =
     0    10    25    25    43    27    43    40    22
    10     0    15    15    33    27    43    40    22
    25    15     0     8    18    20    36    33    27
    25    15     8     0    18    12    28    25    27
    43    33    18    18     0    24    20    33    45
    27    27    20    12    24     0    16    13    21
    43    43    36    28    20    16     0    17    29
    40    40    33    25    33    13    17     0    18
    22    22    27    27    45    21    29    18     0
d =
     0     0     0     0     0     0     0     0     0
    10     0     0     0     0     0     0     0     0
    25    15     0     0     0     0     0     0     0
    25    15     8     0     0     0     0     0     0
    43    33    18    18     0     0     0     0     0
    27    27    20    12    24     0     0     0     0
    43    43    36    28    20    16     0     0     0
    40    40    33    25    33    13    17     0     0
    22    22    27    27    45    21    29    18     0
G =
   (2,1)       10
   (3,1)       25
   (4,1)       25
   (5,1)       43
   (6,1)       27
   (7,1)       43
   (8,1)       40
   (9,1)       22
   (3,2)       15
   (4,2)       15
   (5,2)       33
   (6,2)       27
   (7,2)       43
   (8,2)       40
   (9,2)       22
   (4,3)        8
   (5,3)       18
   (6,3)       20
   (7,3)       36
   (8,3)       33
   (9,3)       27
   (5,4)       18
   (6,4)       12
   (7,4)       28
   (8,4)       25
   (9,4)       27
   (6,5)       24
   (7,5)       20
   (8,5)       33
   (9,5)       45
   (7,6)       16
   (8,6)       13
   (9,6)       21
   (8,7)       17
   (9,7)       29
   (9,8)       18
ST =
   (2,1)       10
   (4,2)       15
   (4,3)        8
   (5,4)       18
   (6,4)       12
   (7,6)       16
   (8,6)       13
   (9,8)       18
pred =
     0     1     4     2     4     4     6     6     8
st =
     0     0     0     0     0     0     0     0     0
    10     0     0     0     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     0     0     0     0     0
     0    15     8     0     0     0     0     0     0
     0     0     0    18     0     0     0     0     0
     0     0     0    12     0     0     0     0     0
     0     0     0     0     0    16     0     0     0
     0     0     0     0     0    13     0     0     0
     0     0     0     0     0     0     0    18     0
TreeLength =
   110

 

3.最大流

 

format compact;
% 最大流
% 只能解決權重都為正值，且兩個頂點之間不能有兩條弧的問題
% 本來a(3,4)=5,a(4,3)=2,增加虛擬節點9,刪去a(4,3)=2,改為a(4,9)=2;a(9,3)=2;

clc,clear,a=zeros(9);
a(1,2)=6;a(1,3)=4;a(1,4)=5;
a(2,3)=3;a(2,5)=9;a(2,6)=9;
a(3,4)=5;a(3,5)=6;a(3,6)=7;a(3,7)=3;
a(4,7)=5;a(4,9)=2;
a(5,8)=12;
a(6,5);a(6,8)=10;
a(7,6)=4;a(7,8)=15;
a(9,3)=2;
G=sparse(a);
view(biograph(G,[],'ShowWeights','on')); % 建立有向圖對象
[x,y,z]=graphmaxflow(G,1,8) % 最大流量為x=15