最短路算法&模板
最短路問題是圖論的基礎問題。本篇隨筆就圖論中最短路問題進行剖析，講解常用的三種最短路算法：Floyd算法、Dijkstra算法及SPFA算法，並給出三種算法的模板。流暢閱讀本篇博客需要有圖論的基礎知識，了解什么是圖，什么是最短路，以及一些基本語法知識和算法基礎。
1、Floyd算法
我個人認為，Floyd算法是三種最短路算法中最簡單、最好理解的算法。它的適用范圍是任意兩點之間的最短路。這一點是其他兩種算法（單源最短路）無法比擬的。它的實現思路也很簡單：用三重循環，枚舉斷點、起始點和終點（注意：順序千萬不能反！！），如果起始點到斷點，斷點到終點的距離和小於起始點到終點當前狀態下的最短路（也就是說找到了一個比它還短的），那么就更新最短路。
它的優點就是簡潔明了，易於理解，但是缺點也顯而易見，通過它的實現途徑，我們可以發現，使用Floyd算法的題一定要用鄰接矩陣存圖，這樣的一個二維數組顯然對空間有着要求，一般來講，只能支持不超過500個點的圖，假如更多，便無法支持。同時，Floyd算法還對時間有着要求，因為是三重循環，所以它的時間復雜度是\(O(n^3)\)的，這樣的復雜度如果出現在一個復雜程序中，極其容易TLE，所以，請大家使用的時候，一定要讀題讀題，慎重慎重！
模板：
void Floyd()
{
memset(map,0x3f,sizeof(map));
for(int i=1;i<=n;i++)
map[i][i]=0;
for(int k=1;k<=n;k++)//順序不要反
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
map[i][j]=min(map[i][k]+map[k][j],map[i][j]);
}
2、Dijkstra算法
Dijkstra算法，中文名是迪傑斯特拉算法，簡寫是DIJ算法。DIJ算法是求解單源最短路，即從某一個源點到達其他所有點的最短路的一個經典算法。它的實現途徑也很好理解：我把點分成兩個集合，一個是已經掃描過的集合，另一個是沒有掃描的集合。即已經確定最短路和沒確定最短路的兩個集合，用v數組標記。然后我們從沒有掃描的集合中挑出一個dist最小的點放入已經掃描的集合中，然后從這個點開始搜索它的所有出邊，進行松弛操作即可。
DIJ算法的時間復雜度比較高，大約是\(O(n^2)\)級別的，同SPFA比確實是差了一些，但它有自己獨特的優勢，由於它的復雜度只和點有關，所以針對於稠密圖（邊多點少的圖），它的求解效率要比SPFA算法高很多。
關於DIJ算法可以使用二叉堆（優先隊列）進行優化，即我們常說的DIJ算法堆優化，由於篇幅較長，我放到了另一篇博客中進行講解，鏈接：
模板：
void dijkstra(int start)//源點
{
int temp,k,y;
memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
memset(v,0,sizeof(v));
dist[start]=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
temp=1<<30;
for(int j=1;j<=n;j++)
if(dist[j]<temp && v[j]==0)
k=j,temp=dist[j];
v[k]=1;
for(int j=head[k];j;j=nxt[j])
{
y=to[j];
if(dist[y]>dist[k]+val[j])
dist[y]=dist[k]+val[j];
}
}
}
3、SPFA算法
網上有一張熱圖，就是“關於SPFA，它死了”。但是SPFA並沒有死，它不僅活的好好的，還是一種國產算法，更是我最擅長的最短路算法。
SPFA的適用范圍同樣也是單源最短路，但是它的實現途徑較抽象：新建一個隊列，保存等待優化的節點，把源點加入隊列。取出隊首節點x，遍歷x的所有出邊，進行松弛操作，如果x點的到達點y被更新，且y不在當前隊列中，就把y壓入隊尾。重復直到隊列空為止。
SPFA的實現模板跟寬搜很類似，希望大家好好體會。
SPFA的時間復雜度也很優越，根據證明，期望的時間復雜度可以達到\(O(kM)\),其中M為邊數，k為所有頂點進隊的平均次數。一般來講，k<=2。
所以我們發現，SPFA算法適用於稀疏圖，即點特別多邊特別少的圖。這和DIJ算法形成了一個對比，希望大家能在做題的時候活學活用。
關於SPFA的算法，有兩種優化方式，由於篇幅較長，放在另一個博客中進行講解。鏈接如下：
模板：
void spfa(int start)
{
memset(dist,0x3f,sizeof(dist));
memset(v,0,sizeof(v));
queue<int> q;
q.push(start);
v[start]=1;
dist[start]=0;
while(!q.empty())
{
int x=q.front();
q.pop();
v[x]=0;
for(int i=head[x];i;=nxt[i])
{
int y=to[i];
if(dist[y]>dist[x]+val[i])
{
dist[y]=dist[x]+val[i];
if(v[y]==0)
q.push(y),v[y]=1;
}
}
}
}