前言
前面介紹學習的大多是線性表相關的內容，把指針搞懂后其實也沒有什么難度。規則相對是簡單的。
再數據結構中樹、圖才是數據結構標志性產物，(線性表大多都現成api可以使用),因為樹的難度相比線性表大一些並且樹的拓展性很強，你所知道的樹、二叉樹、二叉排序樹，AVL樹，線索二叉樹、紅黑樹、B數、線段樹等等高級數據結構。然而二叉排序樹是所有的基礎，所以徹底搞懂二叉排序樹也是非常重要的。
參考王道數據結構
二叉樹也是樹的一種，而二叉排序樹又是二叉樹的一種。
- 樹是
遞歸的，將樹的任何一個節點以及節點下的節點都能組合成一個新的樹。並且很多操作基於遞歸完成。 - 根節點： 最上面的那個節點(root)，根節點
沒有前驅節點，只有子節點（0個或多個都可以） - 層數： 一般認為根節點是
第1層(有的也說第0層)。而樹的高度就是層數最高(上圖層數開始為1)節點的層數 - 節點關系:
父節點：就是鏈接該節點的上一層節點,孩子節點:和父節點對應，上下關系。而祖先節點是父節點的父節點(或者祖先）節點。兄弟節點：擁有同一個父節點的節點們！ - 度： 節點的度就是節點擁有
孩子節點的個數(是孩子不是子孫).而樹的度(最大)節點的度。同時，如果度大於0就成為分支節點,度等於0就成為葉子節點（沒有子孫）。
相關性質：
- 樹的節點數=所有節點度數+1.
- 度為m的樹第i層最多有mi-1個節點。(i>=1)
- 高度而h的m叉樹最多（mh-1）/(m-1)個節點(
等比數列求和) - n個節點的m叉樹最小高度[logm(n(m-1)+1)]
二叉樹是一樹的一種，但應用比較多，所以需要深入學習。二叉樹的每個節點最多只有兩個節點。
二叉樹與度為2的樹的區別：
- 一：度為2的的樹必須有三個節點以上，二叉樹可以為空。
- 二：二叉樹的度不一定為2：比如說斜樹。
- 三：二叉樹有左右節點區分，而度為2的樹沒有左右節點的區分。
幾種特殊二叉樹：
- 滿二叉樹。高度為n的滿二叉樹有2n-1個節點
- 完全二叉樹：上面一層全部滿，最下一層從左到右順序排列
- 二叉排序樹：樹按照一定規則插入排序(本文詳解)。
- 平衡二叉樹：樹上任意節點左子樹和右子樹深度差距不超過1.
二叉樹性質：
相比樹，二叉樹的性質就是樹的性質更加具體化。
- 非空二叉樹葉子節點數=
度為2的節點樹+1.本來一個節點如果度為1.那么一直延續就一個葉子，但如果出現一個度為2除了延續原來的一個節點，會多出一個節點需要維系。所以到最后會多出一個葉子。 - 非空第i層最多有2i-1個節點。
- 高為h的樹最多有2h-1個節點(等比求和)。
完全二叉樹若從左往右，從上到下編號如圖：
前面鋪墊那么多，咱們言歸正傳，詳細實現一個二叉排序樹。首先要了解二叉排序樹的規則：
- 從任意節點開始，節點左側節點值總比節點右側值要小。
例如。一個二叉排序樹依次插入15，6，23，7，4，71，5，50會形成下圖順序
首先二叉排序樹是由若干節點構成。
- 對於node需要這些屬性：
left，right，和value。其中left和right是左右指針，而value是儲存的數據，這里用int 類型。
node類構造為：
class node {//結點 public int value; public node left; public node right; public node() { } public node(int value) { this.value=value; this.left=null; this.right=null; } public node(int value,node l,node r) { this.value=value; this.left=l; this.right=r; } } 既然節點構造好了，那么就需要節點等其他信息構造成樹。有了鏈表構造經驗，很容易得知一棵樹最主要的還是root根節點。
所以樹的構造為：
public class BinarySortTree { node root;//根 public BinarySortTree() {root=null;} public void makeEmpty()//變空 {root=null;} public boolean isEmpty()//查看是否為空 {return root==null;} //各種方法 } 
- 既然已經構造號一棵樹，那么就需要實現主要的方法。因為二叉排序樹中每個節點都能看作一棵樹。所以我們創建方法的是時候加上
節點參數(也就是函數對每一個節點都能有效)
findmin()找到最小節點：
- 因為所有節點的最小都是往左插入，所以只需要找到最左側的返回即可。
findmax()找到最大節點：
- 因為所有節點大的都是往右面插入，所以只需要找到最右側的返回即可。
代碼使用遞歸函數
public node findmin(node t)//查找最小返回值是node，調用查看結果時需要.value { if(t==null) {return null;} else if(t.left==null) {return t;} else return(findmin(t.left)); } public node findmax(node t)//查找最大 { if(t==null) {return null;} else if(t.right==null) {return t;} else return(findmax(t.right)); } 
這里的意思是查找二叉查找樹中是否存在x。
- 假設我們我們插入x，那么如果存在x我們一定會在查找插入
路徑的過程中遇到x。因為你可以如果已經存在的點，再它的前方會走一次和它相同的步驟。也就是說前面固定，我來1w次x，那么x都會到達這個位置。那么我們直接進行查找比較即可！
public boolean isContains(int x)//是否存在 { node current=root; if(root==null) {return false;} while(current.value!=x&¤t!=null) { if(x<current.value) {current=current.left;} if(x>current.value) {current=current.right;} if(current==null) {return false;}//在里面判斷如果超直接返回 } //如果在這個位置判斷是否為空會導致current.value不存在報錯 if(current.value==x) {return true;} return false; } 插入的思想和前面isContains類似。找到自己的位置(空位置)插入。但是又不太一樣。你可能會疑問為什么不直接找到最后一個空，然后將current賦值過去current=new node(x)。這樣的化current就相當於指向一個new node(x)節點。和樹就脫離關系，所以要提前判定是否為空，若為空將它的left或者right賦值即可。
public node insert(int x)// 插入 t是root的引用 { node current = root; if (root == null) { root = new node(x); return root; } while (current != null) { if (x < current.value) { if (current.left == null) { return current.left = new node(x);} else current = current.left;} else if (x > current.value) { if (current.right == null) { return current.right = new node(x);} else current = current.right; } } return current;//其中用不到 } - 比如說上面結構
插入51
刪除操作算是一個相對較難理解的操作了。
刪除節點規則：
- 先找到這個點。這個點用這個點的子樹可以補上的點填充該點，然后在以這個點為頭刪除替代的子節點（調用遞歸）然后在添加到最后情況（只有一個分支，等等）。
- 首先要找到移除的位置，然后移除的那個點
分類討論，如果有兩個兒子，就選右邊兒子的最左側那個點替代，然后再子樹刪除替代的那個點。如果是一個節點，判斷是左空還是右空，將這個點指向不空的那個。不空的那個就替代了這個節點。入股左右都是空，那么他自己變空null就刪除了。
刪除的節點沒有子孫:
- 這種情況不需要考慮，直接刪除即可。(途中紅色點)。另
節點=null即可。
左節點為空、右節點為空：
- 此種情況也很容易，直接將
刪除點的子節點放到被刪除位置即可。
左右節點均不空
- 這種情況相對是復雜的。因為這
涉及到一個策略問題。
- 如果拿
19或者71節點填補。雖然可以保證部分側大於小於該節點，但是會引起合並的混亂.比如你若用71替代23節點。那么你需要考慮三個節點(19,50,75)之間如何處理，還要考慮他們是否滿，是否有子女。這是個極其復雜的過程。 - 首先，我們要分析我們要的這個點的屬性：能夠繼承被刪除點的所有屬性。如果取左側節點(例如17)那么首先能滿足所有右側節點都比他大（右側比左側大）。那么就要再這邊
選一個最大的點讓左半枝都比它小。我們分析左支最大的點一定是子樹最右側！ - 如果這個節點是最底層我們很好考慮，可以
直接替換值，然后將最底層的點刪除即可。但是如果這個節點有左枝。我們該怎么辦？ - 這個分析起來也不難，用遞歸的思想啊。我們刪除這個節點，用可以
滿足的節點替換了。會產生什么樣的后果？
- 多出個用過的19節點，轉化一下，在左子樹中刪除
19的點！那么這個問題又轉化為刪除節點的問題，查找左子樹中有沒有能夠替代19這個點的。
所以整個刪除算法流程為：
代碼為
public node remove(int x, node t)// 刪除節點 { if (t == null) { return null; } if (x < t.value) { t.left = remove(x, t.left); } else if (x > t.value) { t.right = remove(x, t.right); } else if (t.left != null && t.right != null)// 左右節點均不空 { t.value = findmin(t.right).value;// 找到右側最小值替代 t.right = remove(t.value, t.right); } else // 左右單空或者左右都空 { if (t.left == null && t.right == null) { t = null; } else if (t.right != null) { t = t.right; } else if (t.left != null) { t = t.left; } return t; } return t; } 二叉排序樹完整代碼為：
package 二叉樹; import java.util.ArrayDeque; import java.util.Queue; import java.util.Stack; public class BinarySortTree { class node {// 結點 public int value; public node left; public node right; public node() { } public node(int value) { this.value = value; this.left = null; this.right = null; } public node(int value, node l, node r) { this.value = value; this.left = l; this.right = r; } } node root;// 根 public BinarySortTree() { root = null; } public void makeEmpty()// 變空 { root = null; } public boolean isEmpty()// 查看是否為空 { return root == null; } public node findmin(node t)// 查找最小返回值是node，調用查看結果時需要.value { if (t == null) { return null; } else if (t.left == null) { return t; } else return (findmin(t.left)); } public node findmax(node t)// 查找最大 { if (t == null) { return null; } else if (t.right == null) { return t; } else return (findmax(t.right)); } public boolean isContains(int x)// 是否存在 { node current = root; if (root == null) { return false; } while (current.value != x && current != null) { if (x < current.value) { current = current.left; } if (x > current.value) { current = current.right; } if (current == null) { return false; } // 在里面判斷如果超直接返回 } // 如果在這個位置判斷是否為空會導致current.value不存在報錯 if (current.value == x) { return true; } return