一、左偏樹的定義和性質
- 左偏樹是一棵二叉樹，也是一種可並堆，擁有堆的性質，可以像堆一樣合並。
- 左偏樹顧名思義，有“左偏”的特點，既每個左子樹節點的\(dist\)一定大於等於右子樹節點的\(dist\)。
- 由性質2可得：\(t[x].d=t[t[x].ch[1]].d+1\)
- 同時，我們需要注意左偏樹的\(dist\)並不意味着深度，跟深度無關。
講了這么久\(dist\)，那么\(dist\)到底是什么？
二、\(dist\)的定義與含義
對於一個二叉樹，我們定義一個節點的\(dist\)為它到離它最近的葉子節點的距離+1，葉子節點的\(dist=1\)，空節點的\(dist=0\)
三、核心操作
\(Merge：合並操作\)
詳細見代碼注釋
int& rs(int x)//求右兒子
{
return t[x].ch[t[t[x].ch[1]].d<t[t[x].ch[0]].d];//為了滿足左偏樹的性質2，須保證右子樹節點的dist小於左子樹節點的dist
}
int merge(int x,int y)//合並x,y
{
if(!x||!y)return x+y;
if(t[x].val>t[y].val)swap(x,y);//這個根據所須的左偏樹是大根堆還是小根堆，這里是小根堆，反過來是大根堆
rs(x)=merge(rs(x),y);//將右子樹與y合並
f[rs(x)]=x;//當需要更新父親時加上
t[x].d=t[rs(x)].d+1;//滿足左偏樹的性質3
return x;
}
\(Pop：刪除x節點所在堆的最小值/最大值\)
找到\(x\)所在堆的最小值/最大值，用並查集實現，接着合並\(x\)的左右子樹
int find(int x){x==f[x]?x:f[x]=find(f[x]);}
void pop(int &x)
{
x=find(x)//找到x所在堆的最大值/最小值
x=merge(t[x].ch[0],t[x].ch[1]);//合並左右兒子
}
\(Del：刪除任意(x)編號節點\)
注意：這里是刪除任意編號節點，而不是任意權值節點，左偏樹不支持刪除任意權值節點
我們先合並\(x\)的左右兒子
接着更新\(x\)的父親和\(f[x]\)的兒子
因為這樣合並更新可能會破壞左偏的性質，所以需要遍歷檢查滿不滿足左偏性質，更新，直到滿足左偏性質就可以結束或者到達根節點
void pushup(int x)
{
if(!x)return ;//達到根節點，返回
if(t[x].d!=t[rs(x)].d+1)//不滿足左偏性質，更新
{
t[x].d=t[rs(x)].d+1;
pushup(f[x]);
}
}
int merge(int x,int y)
{
if(!x||!y)return x|y;
if(t[x].val>t[y].val)swap(x,y);
f[rs(x)=merge(rs(x),y)]=x;
pushup(x);
return x;
}
void del(int x)
{
int fx=f[x];//x的父親
int u=merge(t[x].ch[0],t[x].ch[1]);//合並左右兒子
f[u]=fx;//更新合並后的節點的信息
if(t[fx].ch[0]==x)t[fx].ch[0]=u;
else t[fx].ch[1]=u;
t[x].val=t[x].ch[0]=t[x].ch[1]=t[x].d=0;
pushup(x);//遍歷檢查左偏性質
}
\(Push：插入x節點\)
新建一個節點，將其初始化為\(x\)
因為這個節點也可以視為一個堆，可以直接合並
void push(int &rt,int v)
{
t[++cnt].val=v;
t[cnt].ch[0]=t[cnt].ch[1]=t[cnt].d=0;
rt=merge(rt,cnt);
}
在以\(x\)為根的整個堆加上/減去/乘上一個數
在根\(x\)上打標記，然后每一次合並堆或者刪除根時下傳
void pushdown(int x)//這里以加上一個數為例
{
if(lazy[x])
{
t[t[x].ch[0]].val+=lazy[x];
t[t[x].ch[1]].val+=lazy[x];
lazy[t[x].ch[0]]+=lazy[x];
lazy[t[x].ch[1]]+=lazy[x];
lazy[x]=0;
}
}
例題
給出洛谷P2713 羅馬游戲的代碼
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1000010;
struct Tree
{
int val,ch[2],d;
}t[N];
int n,q;
int f[N];
bool dead[N];
int& rs(int x)
{
return t[x].ch[t[t[x].ch[1]].d<t[t[x].ch[0]].d];
}
int merge(int x,int y)
{
if(!x||!y)return x|y;
if(t[x].val>t[y].val)swap(x,y);
f[rs(x)=merge(rs(x),y)]=x;
t[x].d=t[rs(x)].d+1;
return x;
}
int find(int a)
{
return a==f[a]?a:f[a]=find(f[a]);
}
char op[10];
int main()
{
scanf("%d",&n);
int a,b;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a);
t[i].val=a;
f[i]=i;
}
scanf("%d",&q);
while(q--)
{
scanf("%s",op);
if(op[0]=='M')
{
scanf("%d %d",&a,&b);
int fx=find(a),fy=find(b);
if(dead[a]||dead[b]||fx==fy)continue;
f[fx]=f[fy]=merge(fx,fy);
}
else
{
scanf("%d",&a);
if(dead[a])
{
puts("0");
continue;
}
a=find(a);
dead[a]=1;
f[a]=f[t[a].ch[0]]=f[t[a].ch[1]]=merge(t[a].ch[0],t[a].ch[1]);
printf("%d\n",t[a].val);
}
}
return 0;
}
深深感覺到自己的渺小