可並堆——左偏樹

定義

左偏樹(Leftist Tree)是一種可並堆的實現。左偏樹是一棵二叉樹，它的節點除了和二叉樹的節點一樣具有左右子樹指針( left, right)外，還有兩個屬性，鍵值和距離(dist)。

先引入一個概念

外節點：一個左子樹為空或者右子樹為空即可在其子樹並入新元素的節點

距離：父節點到外節點最少的經歷的邊數

所以對於外節點，dist(i)=0;

性質

左偏樹的本質是一顆有序的二叉樹，故滿足堆性質

• 節點的鍵值小於或等於它的左右子節點的鍵值

左偏樹，顧名思義，是一顆向左偏的樹，因為左邊節點多而右邊稀少，那么順着右子樹查找外節點一定比順着左子樹查找經過的邊數少，這又引出了左偏樹的兩條性質

• 節點的左子節點的距離不小於右子節點的距離

• 節點的左子節點右子節點也是一顆左偏樹

因為一個節點的dist實質上就是這個節點一直順着右邊查找外節點的距離，那么

• 節點的距離等於它的右子節點的距離加1

即dist(rt)=dist(r)+1;又因為外節點的dist定為0，而它的右節點為空，根據此性質，故空節點的dist為-1

左偏樹還有一些其他的性質和距離與節點的關系，可以參考 左偏樹的特點及其應用——黃源河

合並

在合並兩個堆的時候，左右子樹會漸漸變的平衡，但要時刻保持左偏樹的性質，即當發現左子樹的dist小於右子樹的dist時，swap

還是以小根堆為例

操作

首先定義一些東西

struct node
{
    int l,r,key,dist;//左、右兒子，鍵值，距離
    node(int d=-1) {dist=d;}
}t[N];

int fa[N];//用並查集記錄每顆左偏樹堆頂編號 

合並

結合上方圖示理解

int Merge(int x,int y)//x,y為兩棵樹堆頂的編號
{
    //如果一顆樹為空，返回另一棵樹
    if(!x) return y;  
    if(!y) return x;  
    if(t[x].key > t[y].key) swap(x,y);//選擇x為新樹，若其根節點鍵值大於y，則交換
    t[x].r=Merge(t[x].r,y);//然后將y與x的右子樹合並
    fa[t[x].r]=x;//將右子樹的父節點賦為x
    if(t[t[x].l].dist < t[t[x].r].dist) swap(t[x].l,t[x].r);//為保證左子節點的距離不小於右子節點的距離，合並完后判斷是否需要交換左右子樹
    t[x].dist=t[t[x].r].dist+1;//最后更新根節點的dist值
    return x;
}

插入

可看做與只有單點的左偏樹合並

void push(int x,int y)//將y插入到編號為x的左偏樹中
{
    Merge(x,y);
}

刪除

可看做將當前節點的左右兒子合並

void pop(int x)//刪除編號為x的節點所在左偏樹的堆頂元素
{
    x=findf(x);//先找到堆頂編號
    int tmp=Merge(t[x].l,t[x].r);
    fa[x]=fa[t[x].l]=fa[t[x].r]=tmp;//重置父親
}

查詢

int top(int x)//返回編號為x的節點所在左偏樹的堆頂的鍵值
{
    return t[findf(x)].key;
}

模板

luogu3377

注意當堆中有多個最小值時，刪除原序列中靠前的

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#define N 100005
using namespace std;

int n,m; 
int fa[N];

struct node
{
    int l,r,key,dist;
    node(int d=-1) {dist=d;}
}t[N];

int findf(int x)
{
	if(x==fa[x]) return x;
	return fa[x]=findf(fa[x]);
}

void con(int x,int y)
{
	x=findf(x),y=findf(y);
	fa[x]=y;
}

int top(int x){return t[findf(x)].key;} 

int Merge(int x,int y)
{
    if(!x) return y;  
    if(!y) return x;  
    if(t[x].key > t[y].key||(t[x].key==t[y].key&&x>y)) swap(x,y);
    t[x].r=Merge(t[x].r,y);fa[t[x].r]=x;
    if(t[t[x].l].dist < t[t[x].r].dist) swap(t[x].l,t[x].r);
    t[x].dist=t[t[x].r].dist+1;
    return x;
}

void pop(int x)
{
    x=findf(x);
    int tmp=Merge(t[x].l,t[x].r);
    fa[x]=fa[t[x].l]=fa[t[x].r]=tmp;
    t[x].l=t[x].r=t[x].key=0;t[x].dist=-1;//因為數據有可能給到已經被刪過的點，所以需要將被刪除節點清空
}

int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++) {scanf("%d",&t[i].key);t[i].dist=0;fa[i]=i;}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int opt,x,y;scanf("%d%d",&opt,&x);
		if(opt==1)
		{
			scanf("%d",&y);
			if(!t[x].key||!t[y].key) continue;//若這個數被刪除，不合並 
			int fx=findf(x),fy=findf(y);
			if(fx!=fy) Merge(fx,fy);//不在一個集合里才合並 
		}
		else 
		{
			if(!t[x].key) printf("-1\n");
			else {printf("%d\n",top(x));pop(x);}	
		}
	}
	return 0;
}

參考來源

百度百科
https://baike.baidu.com/item/%E5%B7%A6%E5%81%8F%E6%A0%91/2181887?fr=aladdin#2

圖解數據結構（9）——左偏樹 http://www.cnblogs.com/yc_sunniwell/archive/2010/06/28/1766756.html

可並堆？左偏樹？ ——MaxMercer http://blog.csdn.net/maxmercer/article/details/75136683

左偏樹（可並堆）——yew1eb http://blog.csdn.net/yew1eb/article/details/19349099