樹的重心（模板）

 

代碼定義：樹的重心也叫樹的質心。對於一棵樹n個節點的無根樹，找到一個點，使得把樹變成以該點為根的有根樹時，最大子樹的結點數最小。換句話說，刪除這個 ^[1]  點后最大連通塊（一定是樹）的結點數最小。

性質：

1. 樹中所有點到某個點的距離和中，到重心的距離和是最小的，如果有兩個距離和，他們的距離和一樣。
2. 把兩棵樹通過一條邊相連，新的樹的重心在原來兩棵樹重心的連線上。
3. 一棵樹添加或者刪除一個節點，樹的重心最多只移動一條邊的位置。
4. 一棵樹最多有兩個重心，且相鄰。

算法分析：

和樹的最大獨立問題類似，先任選一個結點作為根節點，把無根樹變成有根樹，然后設d(i)表示以i為根的子樹的結點的個數。不難發現d(i)=∑d(j)+1，j∈s（i）。s（i）為i結點的所有兒子結點的編號的集合。程序也十分簡單：只需要DFS一次，在無根樹有根數的同時計算即可，連記憶化都不需要——因為本來就沒有重復計算。

那么，刪除結點i后，最大的連通塊有多少個呢？結點i的子樹中最大有max{d（j）}個結點，i的“上方子樹”中有n-d（i）個結點

代碼：

#include<iostream>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=200005;
vector<int> tree[maxn];
int n,minNode,minBalance;
//minNode當前重心節點
//minBalance當前重心節點的最大子樹節點個數 
int d[maxn];
//d[i]表示以i為根的子樹節點個數 
void dfs(int u,int fa){
    d[u]=1; //節點本身 
    int maxSub=0,size=tree[u].size(); //maxSub為節點u的最大子樹節點個數 
    for(int i=0;i<size;i++){
        int v=tree[u][i];
        if(v!=fa){
            dfs(v,u);
            d[u]+=d[v];
            maxSub=max(maxSub,d[v]);
        }
    }
    maxSub=max(maxSub,n-d[u]);
    if(maxSub<minBalance){
        minNode=u;
        minBalance=maxSub;
    }
}
int main(){
    int t;
    cin>>t;
    while(t--){
        cin>>n;
        for(int i=1;i<=n;i++) tree[i].clear();
        memset(d,0,sizeof(d));
        for(int i=1;i<n;i++){
            int u,v;
            cin>>u>>v;
            tree[u].push_back(v);
            tree[v].push_back(u);
        }
        minNode=0; minBalance=0x3f3f3f3f;
        dfs(1,0);
        printf("%d %d\n",minNode,minBalance);
    }
    return 0;
}