樹上差分，顧名思義，就是在樹上進行差分，以起到優化復雜度的目的。主要作用是對樹上的路徑進行修改和查詢操作，在修改多、查詢少的情況下復雜度比較優秀。實際上，樹上差分能夠實現的操作，用線段樹、樹剖、$LCT$等等也可以實現，但它的優勢在於實現簡單，可以避免在考場上出現寫題五分鍾、調試兩小時的情況 當然大佬可以忽略這點
差分
在講解樹上差分之前，先講一下差分的思想。
差分，可以當做前綴和的逆運算。既然是逆運算，運算方法自然就是相反的了。定義差分數組$diff$，則運算法則為：（設原數列為$a$）
$$diff_i=a_i-a_{i-1}$$
作個比較：
| 原數列 | 9 | 4 | 7 | 5 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|
| 前綴和 | 9 | 13 | 20 | 25 | 34 |
| 差分數組 | 9 | -5 | 3 | -2 | 4 |
| 前綴和的差分數組 | 9 | 4 | 7 | 5 | 9 |
| 差分數組的前綴和 | 9 | 4 | 7 | 5 | 9 |
顯然，原數列的前綴和的差分數組還是原數列，原數列的差分數組的前綴和也是原數列，這就是差分被稱為前綴和的逆運算的原因，也是差分可以用來優化操作的原因。實際上，差分優化和前綴和優化原理類似，只是實現相反。前綴和優化常常對前綴和數組作差，差分優化也常常對差分數組求前綴和。
這樣，差分的概念就很清晰了。接下來開始進入正題。
樹上差分
樹上差分有什么作用？舉個例子，如果題目要求對樹上的一段路徑進行操作，並詢問某個點或某條邊被經過的次數，樹上差分就可以派上用場了。這就是樹上差分的基本操作。
樹上差分，就是利用差分的性質，對路徑上的重要節點進行修改（而不是暴力全改），作為其差分數組的值，最后在求值時，利用$dfs$遍歷求出差分數組的前綴和，就可以達到降低復雜度的目的。
樹上差分時需要求$LCA$，不會的可以點擊食用。
點差分
設將兩點$u,v$之間路徑上的所有點權增加$x$，$o=LCA(u,v)$,$o$的父親節點為$p$，則操作如下：
diff[u]+=x,diff[v]+=x,diff[o]-=x,diff[p]-=x;
怎么樣，是不是很簡單！原理也很簡單，舉個例子：
設原樹如下，現要將$2,3$之間路徑上的所有點的權值增加$3$，設原權值均為$0$。
則操作后有：
這樣，只要$dfs$一遍，遍歷時統計以每個節點為根的樹的節點的權值和，就是當前節點的最終權值！ 是不是很厲害
就是差分的思想，這里就不多說了。
邊差分
思想一樣，講一下操作。
設將兩點$u,v$之間路徑上的所有邊權增加$x$，$o=LCA(u,v)$，以每條邊兩端深度較大的節點存儲該邊的差分數組，則操作如下：
diff[u]+=x,diff[v]+=x,diff[o]-=2*x;
再舉個例子，還是上面那個圖 絕對不是我懶
則操作后有：
同樣地，只要$dfs$一遍，遍歷時統計以每個節點為根的樹的節點的權值和，就是當前節點到父親節點的邊的最終權值了！
是不是很厲害
至於為什么點差分和邊差分的操作不一樣，很簡單，請讀者自己思考。
樹上差分主要還是學習思想吧！
習題：
差分
綜合應用題：P1083
樹上差分
簡單模板題：P3128
綜合應用題：P2680
參考資料：
2019.7.16 於廈門外國語學校石獅分校