LCA（least common ancestors）最近公共祖先
指的就是對於一棵有根樹，若結點z既是x的祖先，也是y的祖先，那么z就是結點x和y的最近公共祖先。
定義到此。
那么怎么求LCA？
對於朴素思想，就是我要一步一步往上爬，一步一步走。先把結點x和y整到同一深度，然后再一次一個深度的往上查，直到祖先一樣才break（明顯是個while）
但是，一步一步實在是太慢了，所以不能腳踏實地地走
那么，考慮跳着走，
跳着走的條件就是要滿足一步步數盡可能多並且不跳過了。當然你跳過了在一步一步往下找也行啊QWQ
於是，在滿足這兩個條件的情況下，我們有了LCA算法：
一步跳2的n次方。
對於每一步跳躍，我們要預處理一個二維數組f（father）f[x][i]，表示對於當前的x結點，往上跳2^i個祖先，特別的，像數學中的，f[x][0]就是x的一代祖先。於是我們要用一個dfs預處理來解決這個f數組。后面我們會提到；
處理完f數組，那就很簡單了。
輸入x和y，表示要求結點x和結點y的LCA，那么我們開始求LCA：
對於x和y在不同高度，我們先把他們拉到一個高度，同樣不能一步一步走，也要用到f數組。
這里我們要提前了解到一個定理：對於任意一個非零整數，我們都可以將他用2的次冪表示出來。也就是such as ： 11=2^3+2^1+2^0。這倒也不用證明，就像每個數都可以用二進制表示的原理。
接着講：在把x和y弄到同一高度時，我們要先做的是設x的深度dep要比y的深度dep要大，如果dep[y]>dep[x],那么把他們交換。原因是如果不交換，那么我們需要判斷兩種情況，用兩個if以及幾乎相同的代碼（亂七八糟還占內存），對於非常懶的我們，自然不會這么干。
然后用一個判斷 if(dep[f[x][i]]>=dep[y])x=f[x][i];（此時x深度大於y），在這里用外層for循環來枚舉i，但是i一定要從大到小！。為什么？
安利一個大家都聽爛了故事：一個玻璃瓶，裝了幾塊石頭，滿到瓶口。滿了嗎？沒有。又裝了一些沙子，滿到瓶口。滿了嗎？沒有。最后又裝滿了水，滿到瓶口。終於滿了。
那么，類比於x和y的深度的距離，這個瓶子的容積也是同樣道理。從2的盡可能大的次冪去找，一旦能找到能接近他們的i，就更新dep[x]，直到相等。類似於無限逼近，最后值相等的過程。如果i相等了，就說明他們的深度已經在同一層了。
與倍增到同一深度的過程相比，倍增找公共祖先也是類似的，但是有一點不同，就是你不知道什么時候找到他們的公共祖先，因此就沒有查找的上限，那么就讓他們盡可能接近。因此條件改成了這個：
if(f[x][i]!=f[y][i])
{
x=f[x][i];y=f[y][i];
}
在執行完這個語句后，我們成功讓x和y變成了某一節點z的左右兒子！
因為左右兒子是最接近但是又不相等的。
那么我們隨便取其中一個找爸爸，就找到了LCA。
AC代碼：
有關鏈式存圖不懂的的點這里。
#include<cstdio> #include<iostream> using namespace std; int n,m,s,num=0,head[1000001],dep[1000001],f[1000001][23]; int a1,a2; struct edg{ int next,to; }edge[1000001]; void edge_add(int u,int v)//鏈式前向星存圖 { num++; edge[num].next=head[u];edge[num].to=v;head[u]=num; edge[++num].next=head[v];edge[num].to=u;head[v]=num; } void dfs(int u,int father)//對應深搜預處理f數組 { dep[u]=dep[father]+1; for(int i=1;(1<<i)<=dep[u];i++) { f[u][i]=f[f[u][i-1]][i-1]; } for(int i=head[u];i;i=edge[i].next) { int v=edge[i].to; if(v==father)continue;//雙向圖需要判斷是不是父親節點 f[v][0]=u; dfs(v,u); } } int lca(int x,int y) { if(dep[x]<dep[y])swap(x,y); for(int i=20;i>=0;i--)//從大到小枚舉使x和y到了同一層 { if(dep[f[x][i]]>=dep[y])x=f[x][i]; if(x==y)return x; } for(int i=20;i>=0;i--)//從大到小枚舉 { if(f[x][i]!=f[y][i])//盡可能接近 { x=f[x][i];y=f[y][i]; } } return f[x][0];//隨便找一個**輸出 } int main(){ scanf("%d%d%d",&n,&m,&s); for(int i=1;i<n;i++) { scanf("%d",&a1);scanf("%d",&a2); edge_add(a1,a2);//鏈式存邊 } dfs(s,0); for(int i=1;i<=m;i++) { scanf("%d %d",&a1,&a2); printf("%d\n",lca(a1,a2));//求兩個節點的LCA } }
完結撒花✿ヽ(°▽°)ノ✿有疑問或者有可以改進講解的地方可以指出。