問題描述：
給定一只股票在某段時間內的歷史價格變化曲線，找出一個能夠實現收益最大化的時間段。
理解：
為找出最大化的收益，需要考慮的是在買進和賣出時的價格變化幅度，因此從該股票的每日變化幅度來考慮問題比較合適。由此，可以將上述問題稍作變形：給定一只股票在某段時間內的每日變化幅度，找出一個合適的買進和賣出時間，以實現收益最大化。因此，將輸入數據轉換如下，並試圖在整個時間段中找到一個累加和最大的子區間，亦即最大子數組。
暴力求解方法：
首先能夠想到的是在一個給定數組（區間）中，其子數組（子區間）的個數是C(2,n)，很容易就能遍歷完所有子數組從而找出最大的那個，其最壞情況漸進時間復雜度是Θ(n2)。假設每日變化幅度保存在數組A中（A的下標從1到n），A.length表示A的元素個數，最終結果以元組形式返回；給出偽碼如下：
BRUTE_FORCE(A)
i = 1
sum = -infinity
for i <= A.length, inc by 1
j = i
last_sum = 0
for j <= A.length, inc by 1
last_sum += A[j]
if last_sum > sum
sum = last_sum
start = i
end = j
return (start, end, sum)
分治求解方法：
上述方法的漸進時間復雜度差強人意。類比於歸並排序，有時采用分治策略能夠獲得更好的時間復雜度。分治策略通常包含分解成子問題、解決子問題、合並子問題。由此可以推出大致的解決思路：首先依然假設數據輸入如上一個方法那樣，然后考慮將A[1...n]拆分為規模大致相同的兩個子數組left[1...mid]和right[mid+1...n]，其中mid=(1+n)/2向下取整，那么可以肯定，最大子數組要么在這兩個子數組中，要么橫跨這兩個子數組，因此可以分別求解這三種情況，取其中最大的子數組並返回即可。
對於left/right子數組可遞歸求解，而對於橫跨兩個子數組的情況，如果能夠使得該情況下的求解時間復雜度為O(n)，那么應該能讓整體的最壞時間復雜度低於Θ(n2)。如果僅僅是通過遍歷所有包含A[mid]和A[mid+1]的子數組來找最大子數組，那么很顯然僅求解該情況就需要Θ(n2)的時間。可以推斷橫跨兩個子數組的最大子數組，必須由兩個分別在left/right中的子數組組成，這兩個子數組在分別包含了A[mid]和A[mid+1]的所有子數組中是最大的；因為如果存在一個不滿足上述條件的最大子數組，那么總可以用上述方法找到一個更大的子數組。
根據上述思路，很容易推知求解橫跨兩個子數組的情況只需要O(n)的時間。由此給出偽碼如下：
（1）子過程：找出橫跨兩個子數組的最大子數組
FIND_CROSSING_MAX_SUBARRAY(A, low, mid, high)
left_sum = -infinity
sum = 0
i = mid
for i >= low, dec by 1
sum += A[i]
if sum > left_sum
left_sum = sum
left_index = i
right_sum = -infinity
sum = 0
i = mid + 1
for i <= high, inc by 1
sum += A[i]
if sum > right_sum
right_sum = sum
right_index = i
return (left_index, right_index, left_sum+right_sum)
（2）主過程：分治法找出最大子數組
FIND_MAX_SUBARRAY(A, low, high)
if low == high
return (low, high, A[low])
else
mid = down_trunc((low + high) / 2)
(left_start, left_end, left_sum) =
FIND_MAX_SUBARRAY(A, low, mid)
(right_start, right_end, right_sum) =
FIND_MAX_SUBARRAY(A, mid+1, high)
(cross_start, cross_end, cross_sum) =
FIND_CROSSING_MAX_SUBARRAY(A, low, mid, high)
if left_sum > right_sum and left_sum > cross_sum
return (left_start, left_end, left_sum)
else if right_sum > left_sum and right_sum > cross_sum
return (right_start, right_end, right_sum)
else
return (cross_start, cross_end, cross_sum)
可以看出上述算法漸進時間復雜度為Θ(nlg(n))。
縮減問題規模的方法：
在查找過程中，是否可以根據現有的信息，來縮減需要排查的子數組個數，進而獲得更好的時間復雜度呢？一個思路是不再重復檢查以前累加過的元素，即從左至右累加元素，保存其中的最大子數組，如果在加入一個元素后累加和為負數，則從該元素的后一個元素重新累加，直至整個數組遍歷完畢。該思路有效的前提是證明以下幾個假設：
- 可以將最大子數組來源分為三種：已經遍歷完的數組部分、未遍歷的數組部分以及跨越這兩部分的子數組
- 可以假設當從左至右累加直至累加和為負，所得的最大子數組是當前已遍歷完的數組部分中最大的
- 可以假設當累加和為負時，潛在的最大子數組不可能從該元素或該元素左邊的元素開始
假設1不證自明。
假設從A[1]累加到A[i]時第一次遇到其累加和為負（1<=i<=n），那么A[i]一定為負，且A[1]+...+A[i-1]>=0。當i<=2時，顯然此時假設2成立。當i>2時，可以認為在A[1]...A[i]中，所有子數組可分為三種：從A[1]開始向右拓展、從A[i]開始向左拓展以及不包含A[1]和A[i]的中間子數組；顯然從A[i]向左拓展的不可能是最大子數組，而如果不包含A[1]和A[i]的中間子數組是最大子數組，那么可以使該中間子數組加上其左邊的部分構成一個新的子數組，而且該子數組總是大於等於這個中間子數組，因為其左邊部分總是大於等於0，所以該情況下假設2也得證。綜合來看假設2是成立的。
對於假設3，顯然潛在的最大子數組不可能從A[i]開始，因為A[i]<0。當潛在的最大子數組從A[i]的左邊開始時，假設其從A[j]開始（1<=j<i）。顯然j不能等於1，因為A[1]+...+A[i]<0；當j>1時，A[j]+...+A[i]一定是負數，因為A[1]+...+A[j-1]一定大於等於0而A[1]+...+A[i]一定為負。所以綜合來看，從A[i]或者A[i]的左邊尋找潛在的子數組是沒有意義的。
偽碼如下，時間復雜度為Θ(n)。對於全部是負數的情況，特殊處理即可，不影響時間復雜度。
LINEAR_SEARCH_MAX_SUBARRAY(A)
sum = -infinity
start = 0
end = 0
cur_sum = 0
cur_start_index = 1
i = 1
for i <= A.length, inc by 1
cur_sum += A[i]
if cur_sum < 0
cur_sum = 0
cur_start_index = i + 1
else
if sum < cur_sum
sum = cur_sum
start = cur_start_index
end = i
return (start, end, sum)