數位dp介紹

不了解dp的可以先看一下dp

數位dp含義：

數位：一個數有個位，十位，百位，千位等等，數的每一位都是數位。

數位dp歸為計數dp，是在數位上進行操作的dp。

數位dp的實質是一種快速枚舉的方式，它滿足dp的性質，然后進行記憶化搜索。

用途：

有兩個數，兩個數范圍很大(例如1e9，甚至更大)，求這兩個數符合限定條件的個數。純暴力不行，就要用數位dp。

例子：求從0到n,（n為2^32-1）,(條件)求包含49的數有多少； 

思路or具體實現：

n為2^32-1，數位其實只有20位，枚舉數位，就不會超時。

dp[shuwei][diaojian]。dp的第一維通常是數位，后面的幾維根據題目條件來設定。上面給的例子只用了一維。

控制上界枚舉，從最高位往下枚舉。用記憶化搜索來做，拋開循環后轉移狀態能更加隨意，大部分數位和動態規化的題都可隨意切換。搜索與循環異曲同工之妙，但前者更易轉移狀態，在限制較多的情況下被大部分人喜愛。

例題:Bomb

思路 ：數位dp=dfs+記憶化搜索。

需要注意上限即題目所給范圍的預處理，本題用digtis[20] 數組，存儲上限的數位，最好用一個函數來處理，比如solve(sum),處理時，對上限的數位總數拿一個變量進行存儲,比如k或len。

在dfs中用 limit (有些題解是top）判定上限，dfs(len,條件，limit)；

dfs執行數位dp，在搜索時用了 up_bound=(limit?digit[len]:9); 來標記上限，同時用cnt來存儲滿足的條件的數量，然后更新dp數組，更新時要滿足if(!limit)，到達上界，狀態不完整。

在dfs中對條件的處理，需要根據題意去確定，每個題目不一樣。

是否頂着上界，每層確定這一位選啥，判斷是否和上一位沖突，全部確定完了方案數+1。

由於頂着上界是比較特殊的情況，所以這類答案直接一層層搜索出答案，不用記憶化，其他(不頂着上界)的情況用dp[][] 直接返回數量。

有些題目需要最后算一下最高位為0的情況。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

int digit[20]; //儲存上界的每個數位 
LL dp[20][2];  //統計沒有49的總數 

//if4它的上一位和當前位是否是4
//len 記錄當前數位，從高位往下搜索 
//limit 上一位是否是上界 

LL dfs(int len, bool if4, bool limit){
    if(len==0) return 1ll;  //個位的時候，有一個分支。 
    if(!limit && dp[len][if4])  return dp[len][if4];
    //沒到達上界並且數位已經統計過，直接返回數量。 
    
    LL cnt=0,up_bound=(limit?digit[len]:9);
    //標記數位的上界 
    
    //對整個數位進行記憶化搜索 
    for(int i=0;i<=up_bound;++i){
        if(if4&&i==9) continue;//碰到49不加入。
        cnt+=dfs( len-1, i==4,limit && i==up_bound);
        //向下搜索，判斷上一位是否為4，上一位是否到達上界，當前位是否到上界。 
    } 
    if(!limit) dp[len][if4]=cnt; //到達上界是狀態不完整，不更新dp 
    return cnt;//直接返回本次搜索結果，加入到最后結果中 
}

LL solve(LL num) //num是上界這個數 
{
    int k=0;//記錄數位個數。
    while(num)
    {
        digit[++k]=num%10;
        num/=10; 
    } 
    return dfs(k,false,true); 
} 

int main(){
     int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        LL n;
        cin>>n;
        cout<<n+1-solve(n)<<endl;
    } 
    return 0;
}