專題訓練之數位DP

本文轉載自查看原文 2018-06-05 21:55 1214 ACM

推薦以下一篇博客：https://blog.csdn.net/wust_zzwh/article/details/52100392

1.(HDOJ2089)http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2089

分析：裸模板題

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 int a[20];
 7 int dp[20][2];
 8 int dfs(int pos,int pre,int sta,bool limit)
 9 {
10     if ( pos==-1 ) return 1;
11     if ( !limit && dp[pos][sta]!=-1 ) return dp[pos][sta];
12     int up=limit?a[pos]:9;
13     int tmp=0;
14     for ( int i=0;i<=up;i++ )
15     {
16         if ( pre==6 && i==2 ) continue;
17         if ( i==4 ) continue;
18         tmp+=dfs(pos-1,i,i==6,limit&&i==a[pos]);
19     }    
20     if ( !limit ) dp[pos][sta]=tmp;
21     return tmp;
22 }
23 
24 int solve(int x)
25 {
26     int pos=0;
27     while ( x )
28     {
29         a[pos++]=x%10;
30         x/=10;
31     }
32     return dfs(pos-1,-1,0,true);
33 }
34 
35 int main()
36 {
37     int l,r;
38     while ( scanf("%d%d",&l,&r)!=EOF && (l+r) )
39     {
40         memset(dp,-1,sizeof(dp));
41         printf("%d\n",solve(r)-solve(l-1));
42     }
43     return 0;
44 }

HDOJ2089

2.(HDOJ3555)http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3555

題意：求區間內不出現49的數的個數

分析：裸模板題

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 int a[20];
 7 ll dp[20][2];
 8 ll dfs(int pos,int pre,int sta,bool limit)
 9 {
10     if ( pos==-1 ) return 1;
11     if ( !limit && dp[pos][sta]!=-1 ) return dp[pos][sta];
12     int up=limit?a[pos]:9;
13     ll tmp=0;
14     for ( int i=0;i<=up;i++ )
15     {
16         if ( pre==4 && i==9 ) continue;
17         tmp+=dfs(pos-1,i,i==4,limit&&i==a[pos]);
18     }    
19     if ( !limit ) dp[pos][sta]=tmp;
20     return tmp;
21 }
22 
23 ll solve(ll x)
24 {
25     int pos=0;
26     while ( x )
27     {
28         a[pos++]=x%10;
29         x/=10;
30     }
31     return dfs(pos-1,-1,0,true);
32 }
33 
34 int main()
35 {
36     ll l,r,T;
37     memset(dp,-1,sizeof(dp));
38     scanf("%lld",&T);
39     while ( T-- )
40     {
41         scanf("%lld",&r);
42         printf("%lld\n",r-solve(r)+1);
43     }
44     return 0;
45 }

HDOJ3555

3.(HDOJ4734)http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4734

題意：題目給了個f(x)的定義：F(x) = A_n * 2^n-1 + A_n-1 * 2^n-2 + ... + A₂ * 2 + A₁ * 1，Ai是十進制數位，然后給出a,b求區間[0,b]內滿足f(i)<=f(a)的i的個數。

分析：采用相減的思想,dp[i][j]，第一維表示處於數字的第幾位（即pos），第二維表示是枚舉到當前pos位，后面位數最多能湊的權值和為j（起始值為f(a)），最后當j>=0是滿足條件的數。具體解釋見上面的博客

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 const int maxn=10010;
 7 int a[12];
 8 int dp[12][maxn];
 9 int sum;
10 int pow_[maxn];
11 
12 int dfs(int pos,int sta,bool limit)
13 {
14     if ( pos==-1 ) return 1;
15     if ( !limit && dp[pos][sta]!=-1 ) return dp[pos][sta];
16     int up=limit?a[pos]:9;
17     int tmp=0;
18     for ( int i=0;i<=up;i++ )
19     {
20         int x=pow_[pos]*i;
21         if ( sta-x<0 ) continue;
22         tmp+=dfs(pos-1,sta-x,limit&&i==a[pos]);
23     }
24     if ( !limit ) dp[pos][sta]=tmp;
25     return tmp;
26 }
27 
28 int solve(int x)
29 {
30     int pos=0;
31     while ( x )
32     {
33         a[pos++]=x%10;
34         x/=10;    
35     }
36     return dfs(pos-1,sum,true);
37 }
38 
39 int main()
40 {
41     int l,r,T,i,j,k,h,A,B,x,y,z,cnt;
42     pow_[0]=1;
43     for ( i=1;i<=8;i++ ) pow_[i]=pow_[i-1]*2;
44     scanf("%d",&T);
45     memset(dp,-1,sizeof(dp));
46     for ( h=1;h<=T;h++ )
47     {
48         scanf("%d%d",&A,&B);
49         sum=0;
50         cnt=0;
51         x=A;
52         while ( x )
53         {
54             y=x%10;
55             sum+=y*pow_[cnt++];
56             x/=10;
57         }
58         printf("Case #%d: %d\n",h,solve(B));
59     }
60     return 0;
61 }

HDOJ4734

4.(POJ3252)http://poj.org/problem?id=3252

題意：求一個范圍內滿足，二進制下0的位數>=1的位數的個數

分析：將原先的十進制一位轉化為二進制一位.此題要在dfs中添加bool型的lead表示前導0，因為這題需要拿0的個數和1的個數比較，所以需要考慮前導0.同時dp數組的第二維記錄的是0的個數-1的個數。因為可能為負，所以初始值不為0，而記一個較大的數（我記的是32，只要能使得過程不為負即可）

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 int a[50];
 7 ll dp[50][66];
 8 ll dfs(int pos,int sta,bool lead,bool limit)
 9 {
10     if ( pos==-1 ) return sta>=32;
11     if ( !limit && !lead && dp[pos][sta]!=-1 ) return dp[pos][sta];
12     int up=limit?a[pos]:1;
13     ll tmp=0;
14     for ( int i=0;i<=up;i++ )
15     {
16         if(lead && i==0) tmp+=dfs(pos-1,sta,lead,limit && i==a[pos]);
17         else tmp+=dfs(pos-1,sta+(i==0?1:-1),lead && i==0,limit && i==a[pos]);  
18     }    
19     if ( !limit&&!lead ) dp[pos][sta]=tmp;
20     return tmp;
21 }
22 
23 ll solve(ll x)
24 {
25     int pos=0;
26     while ( x )
27     {
28         a[pos++]=x%2;
29         x/=2;
30     }
31     return dfs(pos-1,32,true,true);
32 }
33 
34 int main()
35 {
36     ll l,r;
37     memset(dp,-1,sizeof(dp));
38     while ( scanf("%lld%lld",&l,&r)!=EOF )
39     {
40         printf("%lld\n",solve(r)-solve(l-1));
41     }
42     return 0;
43 }

POJ3252

5.(HDOJ5179)http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5179

題意：給定一個數A,a數組從0開始對應着數A從左到右的每一尾，現在要求數A右邊的數都不比左邊的數大，同時要求在左邊的數去模右邊的數都為0

分析：dp數組的第二維記錄前一位數是多少即可。轉移時要轉移到比前一位數小的數同時要被前一位數取模為0的數

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 int a[20];
 7 int dp[20][12];
 8 int dfs(int pos,int sta,bool lead,bool limit)
 9 {
10     if ( pos==-1 ) return 1;
11     if ( !limit && !lead && dp[pos][sta]!=-1 ) return dp[pos][sta];
12     int up=limit?a[pos]:9;
13     int tmp=0;
14     for ( int i=0;i<=up;i++ )
15     {
16         if ( !lead&&i==0 ) continue;
17         if ( lead )
18         {
19             tmp+=dfs(pos-1,i,lead && i==0,limit&&i==a[pos]);
20             continue;
21         }
22         if ( i>sta&&sta!=-1 ) break;
23         if ( sta%i!=0 && sta!=-1 ) continue;
24         tmp+=dfs(pos-1,i,lead && i==0,limit&&i==a[pos]);
25     }    
26     if ( !limit&&!lead ) dp[pos][sta]=tmp;
27     return tmp;
28 }
29 
30 int solve(int x)
31 {
32     int pos=0;
33     while ( x )
34     {
35         a[pos++]=x%10;
36         x/=10;
37     }
38     return dfs(pos-1,-1,true,true);
39 }
40 
41 int main()
42 {
43     int l,r,T;
44     scanf("%d",&T);
45     memset(dp,-1,sizeof(dp));
46     while ( T-- )
47     {
48         scanf("%d%d",&l,&r);
49         printf("%d\n",solve(r)-solve(l-1));
50     }
51     return 0;
52 }

HDOJ5179

6.（HDOJ3652）http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3652

題意：給定一個范圍，求該范圍內不含13同時不是13倍數的數的個數

分析：設置三維數組dp[i][j][k]，第一維表示位置，第二維表示13的余數，

第三維有三個值，0代表此前還未出現過13同時前一位不為1，1代表此前還未出現過13同時前1位位1，2代表此前已經出現過了13

最后判斷時，只有當第二維為0，第三維為2時才加入計數

注意第三維轉移時到底是多少

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 int a[20];
 7 int dp[20][15][3];
 8 int dfs(int pos,int rem,int sta,bool limit)
 9 {
10     if ( pos==-1 ) return rem==0&&sta==2;
11     if ( !limit && dp[pos][rem][sta]!=-1 ) return dp[pos][rem][sta];
12     int up=limit?a[pos]:9;
13     int tmp=0;
14     for ( int i=0;i<=up;i++ )
15     {
16         int x=sta;
17         if ( sta==0 && i==1 ) x=1;
18         if ( sta==1 && i!=1 ) x=0;
19         if ( sta==1 && i==3 ) x=2;
20         tmp+=dfs(pos-1,(rem*10+i)%13,x,limit&&i==a[pos]);
21     }    
22     if ( !limit ) dp[pos][rem][sta]=tmp;
23     return tmp;
24 }
25 
26 int solve(int x)
27 {
28     int pos=0;
29     while ( x )
30     {
31         a[pos++]=x%10;
32         x/=10;
33     }
34     return dfs(pos-1,0,0,true);
35 }
36 
37 int main()
38 {
39     int l,r;
40     memset(dp,-1,sizeof(dp));
41     while ( scanf("%d",&r)!=EOF )
42     {
43         printf("%d\n",solve(r));
44     }
45     return 0;
46 }

HDOJ3652

7.（HDOJ3709）http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3709

題意：求區間[L, R]內平衡數的個數平衡數的定義是指，以某位作為支點，此位的左面（數字 * 距離）之和與右邊相等,距離是指某位到支點的距離;

分析：首先需要明確一個數如果是平衡數，那么它的支點一定是確定。所以需要枚舉支點是哪個點。要注意在數位dp的dfs中，由於 0 對於每個位置都會被統計到，最后要再減去重復的。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 int a[20];
 7 ll dp[20][20][1800];
 8 ll dfs(int pos,int bal,int sum,bool limit)
 9 {
10     if ( pos==-1 ) return sum==0;
11     if ( !limit && dp[pos][bal][sum]!=-1 ) return dp[pos][bal][sum];
12     int up=limit?a[pos]:9;
13     ll tmp=0;
14     for ( int i=0;i<=up;i++ )
15     {
16         if ( sum+(pos-bal)*i<0 ) continue; 
17         tmp+=dfs(pos-1,bal,sum+(pos-bal)*i,limit&&i==a[pos]);
18     }    
19     if ( !limit ) dp[pos][bal][sum]=tmp;
20     return tmp;
21 }
22 
23 ll solve(ll x)
24 {
25     if ( x==-1 ) return 0;
26     int pos=0;
27     while ( x )
28     {
29         a[pos++]=x%10;
30         x/=10;
31     }
32     ll ans=0;
33     for ( int i=0;i<pos;i++ ) ans+=dfs(pos-1,i,0,true);
34     return ans-pos+1;
35 }
36 
37 int main()
38 {
39     ll l,r;
40     int T;
41     memset(dp,-1,sizeof(dp));
42     scanf("%d",&T);
43     while ( T-- )
44     {
45         scanf("%I64d%I64d",&l,&r);
46         printf("%I64d\n",solve(r)-solve(l-1));
47     }
48     return 0;
49 }

HDOJ3709

8.（HDOJ4507）http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4507

分析：dp[i][j][k]第二維表示%7后的余數，第三維表示所有位數的和%7后的值。因為要求的是所有滿足條件的數的平方和，我們考慮對一個數按平方和規則進行拆分。

結構體數組dp中記錄三個值,cnt代表滿足條件的數的個數，sum表示滿足條件的數的求和，sum2表示滿足條件的數的平方和.

以下轉移式為不帶取模的轉移方程,假設第i位是當前這位,pos為當前所處的位置,p[pos]代表10^pos次，當前的狀態為ans，子狀態為tmp(方法：先考慮單個式子再進行累加)

ans.cnt+=tmp.cnt

ans.sum+=(tmp.sum+tmp.cnt*(i*p[pos]))

ans.sum2+=(tmp.cnt*（(i*p[pos])^2）+2*(i*p[i])*tmp.sum+tmp.sum2)

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 const ll mod=1e9+7;
 7 int a[20];
 8 ll p[20];
 9 struct node{
10     ll cnt,sum,sum2;
11     node(ll _cnt=0,ll _sum=0,ll _sum2=0):cnt(_cnt),sum(_sum),sum2(_sum2) {}
12 }dp[20][10][10];
13 
14 node dfs(int pos,int rem,int snum,bool limit)
15 {
16     if ( pos==-1 ) 
17     {
18         node ss(0,0,0);
19         if ( rem!=0 && snum!=0 ) ss.cnt=1;
20         return ss;
21     }
22     if ( !limit && dp[pos][rem][snum].sum2!=-1 ) return dp[pos][rem][snum];
23     int up=limit?a[pos]:9;
24     node ans(0,0,0);
25     for ( int i=0;i<=up;i++ )
26     {
27         if ( i==7 ) continue;
28         node tmp=dfs(pos-1,(rem*10+i)%7,(snum+i)%7,limit&&i==a[pos]);
29         ans.cnt+=tmp.cnt;  
30         ans.cnt%=mod;  
31         ans.sum+=(tmp.sum+i*p[pos]%mod*tmp.cnt%mod)%mod;  
32         ans.sum%=mod;  
33         ans.sum2+=(tmp.sum2+2*p[pos]*i%mod*tmp.sum%mod)%mod;  
34         ans.sum2%=mod;  
35         ans.sum2+=(tmp.cnt*p[pos]%mod*p[pos]%mod*i*i%mod);  
36         ans.sum2%=mod;
37     }    
38     if ( !limit ) dp[pos][rem][snum]=ans;
39     return ans;
40 }
41 
42 ll solve(ll x)
43 {
44     int pos=0;
45     while ( x )
46     {
47         a[pos++]=x%10;
48         x/=10;
49     }
50     node tmp=dfs(pos-1,0,0,true);
51     return tmp.sum2;
52 }
53 
54 int main()
55 {
56     ll l,r;
57     int T;
58     memset(dp,-1,sizeof(dp));
59     p[0]=1;
60     for ( int i=1;i<=18;i++ ) p[i]=(p[i-1]*10)%mod;
61     scanf("%d",&T);
62     while ( T-- )
63     {
64         scanf("%I64d%I64d",&l,&r);
65         printf("%I64d\n",((solve(r)-solve(l-1))%mod+mod)%mod);
66     }
67     return 0;
68 }

HDOJ4507

9.（HDOJ3886）http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3886

題意：給出一個字符，只含'/'，'-' ，'\' ，表示着一個數上的各位數字按相應字符上升，不變或下降，問【a,b】區間內這樣的數有多少個？

分析;dp[i][j][k]第二維表示前一個值是什么，第三維表示當前處於波動字符串的第幾個位置

要注意幾點：

a、為了確保每個數只被計算一次，當能進入一個新的起伏時，盡量先進入，如果不能再判斷是否符合之前的起伏。

b、前導零不應該被算入起伏中，起伏只能在沒有前導零的數中匹配。

c、n個運算符至少要有n+1個數。

d、注意開始的狀態，第一個數以及第一個運算符。

e、注意大數減一的計算。

f、注意減法的取模。

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 const int maxn=105;
 7 const int mod=1e8;
 8 char s1[maxn],s2[maxn],op[maxn];
 9 int a[maxn];
10 int dp[maxn][12][maxn],len;
11 
12 bool check ( int x , int y , char c ) 
13 {  
14     if ( c == '/' &&  x < y ) return true ;  
15     if ( c == '-' && x == y ) return true ;  
16     if ( c == '\\' && x > y ) return true ;  
17     return false ;  
18 }  
19 
20 ll dfs(int pos,int pre,int p,bool lead,bool limit)
21 {
22     if ( pos==-1 ) return p==len;
23     if ( !limit && !lead && dp[pos][pre][p]!=-1 ) return dp[pos][pre][p];
24     int up=limit?a[pos]:9;
25     ll tmp=0;
26     for ( int i=0;i<=up;i++ )
27     {
28         
29         if ( lead ) tmp=(tmp+dfs(pos-1,i,p,lead&&i==0,limit&&i==a[pos]))%mod;
30         else if ( p<len && check(pre,i,op[p+1]) ) tmp=(tmp+dfs(pos-1,i,p+1,lead,limit&&i==a[pos]))%mod;
31         else if ( p>0 && check(pre,i,op[p]) ) tmp=(tmp+dfs(pos-1,i,p,lead,limit&&i==a[pos]))%mod;
32     }    
33     if ( !limit&&!lead ) dp[pos][pre][p]=tmp%mod;
34     return tmp;
35 }
36 
37 ll solve(char *x,int f)  
38 {  
39     int i=0,pos=0;  
40     int len_=strlen(x);  
41     while ( x[i]=='0' ) i++;  
42     if ( x[i]=='\0' )  return 0;   
43     for( int j=len_-1;j>=i;j-- ) a[pos++]=x[j]-'0';  
44     if( f )  
45     {  
46         a[0]--;  
47         for( int j=0;j<pos;j++ )  
48         {  
49             if(a[j]<0)  
50             {  
51                 a[j]+=10;  
52                 a[j+1]--;  
53             }  
54         }  
55     }  
56     pos--;
57     if( a[pos]==0 ) pos--; 
58     return dfs(pos,0,0,true,true)%mod;  
59 }  
60 
61 int main()
62 {
63     int l,r;
64     while ( scanf("%s",op+1)!=EOF )
65     {
66         memset(dp,-1,sizeof(dp));
67         len=strlen(op+1);
68         scanf("%s%s",s1,s2);
69         ll r=solve(s2,0);
70         ll l=solve(s1,1); 
71         printf("%08lld\n",(r-l+mod)%mod);
72     }
73     return 0;
74 }

HDOJ3886

10.(HDOJ4352)http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4352

題意：給定一個區間，讓你求這個區間中數位從左到右滿足LIS恰好為m的數的個數

分析：dp[i][j][k],第二維表示當前的狀態（即LIS），第三維表示所求的LIS的長度

第二維中要用到LIS的nlogn的算法,具體見https://blog.csdn.net/shuangde800/article/details/7474903。大致的含義就是j的二進制表示下有多少個位置為1代表LIS的長度為多少，從小到大出現的第i個1的位置j代表長度為i的LIS結尾為j。每次更新時，不斷更新j(大致思想就是nlogn的LIS做法),注意記憶化返回的是要求的LIS長度的狀態，而不是當前狀態的LIS長度的狀態

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 int a[25],m;
 7 ll dp[25][1030][12];
 8 
 9 int getnews(int x,int s)
10 {
11     for( int i=x;i<=9;i++ )
12         if(s&(1<<i)) return (s^(1<<i))|(1<<x);
13     return s|(1<<x);
14 }
15 
16 int count(int x)
17 {
18     int cnt=0;
19     while ( x )
20     {
21         if ( x&1 ) cnt++;
22         x/=2;
23     }
24     return cnt;
25 }
26 
27 ll dfs(int pos,int sta,bool lead,bool limit)
28 {
29     if ( pos==-1 ) return count(sta)==m;
30     if ( !limit && !lead && dp[pos][sta][m]!=-1 ) return dp[pos][sta][m];
31     int up=limit?a[pos]:9;
32     ll tmp=0;
33     for ( int i=0;i<=up;i++ )
34     {
35         tmp+=dfs(pos-1,(lead&&i==0)?0:getnews(i,sta),lead&&i==0,limit&&i==a[pos]);
36     }    
37     if ( !limit&&!lead ) dp[pos][sta][m]=tmp;
38     return tmp;
39 }
40 
41 ll solve(ll x)
42 {
43     int pos=0;
44     while ( x )
45     {
46         a[pos++]=x%10;
47         x/=10;
48     }
49     return dfs(pos-1,0,true,true);
50 }
51 
52 int main()
53 {
54     ll l,r;
55     int T,h;
56     memset(dp,-1,sizeof(dp));
57     scanf("%d",&T);
58     for ( h=1;h<=T;h++ )
59     {
60         scanf("%lld%lld%d",&l,&r,&m);
61         printf("Case #%d: %lld\n",h,solve(r)-solve(l-1));
62     }
63     return 0;
64 }

HDOJ4352

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