1300：雞蛋的硬度
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【題目描述】
最近XX公司舉辦了一個奇怪的比賽：雞蛋硬度之王爭霸賽。參賽者是來自世界各地的母雞，比賽的內容是看誰下的蛋最硬，更奇怪的是XX公司並不使用什么精密儀器來測量蛋的硬度，他們采用了一種最老土的辦法--從高度扔雞蛋--來測試雞蛋的硬度，如果一次母雞下的蛋從高樓的第a層摔下來沒摔破，但是從a+1層摔下來時摔破了，那么就說這只母雞的雞蛋的硬度是a。你當然可以找出各種理由說明這種方法不科學，比如同一只母雞下的蛋硬度可能不一樣等等，但是這不影響XX公司的爭霸賽，因為他們只是為了吸引大家的眼球，一個個雞蛋從100 層的高樓上掉下來的時候，這情景還是能吸引很多人駐足觀看的，當然，XX公司也絕不會忘記在高樓上掛一條幅，寫上“XX公司”的字樣--這比賽不過是XX 公司的一個另類廣告而已。
勤於思考的小A總是能從一件事情中發現一個數學問題，這件事也不例外。“假如有很多同樣硬度的雞蛋，那么我可以用二分的辦法用最少的次數測出雞蛋的硬度”，小A對自己的這個結論感到很滿意，不過很快麻煩來了，“但是，假如我的雞蛋不夠用呢，比如我只有1個雞蛋，那么我就不得不從第1層樓開始一層一層的扔，最壞情況下我要扔100次。如果有2個雞蛋，那么就從2層樓開始的地方扔……等等，不對，好像應該從1/3的地方開始扔才對，嗯，好像也不一定啊……3個雞蛋怎么辦，4個，5個，更多呢……”，和往常一樣，小A又陷入了一個思維僵局，與其說他是勤於思考，不如說他是喜歡自找麻煩。
好吧，既然麻煩來了，就得有人去解決，小A的麻煩就靠你來解決了：）
【輸入】
輸入包括多組數據，每組數據一行，包含兩個正整數n和m(1≤n≤100,1≤m≤10)，其中n表示樓的高度，m表示你現在擁有的雞蛋個數，這些雞蛋硬度相同（即它們從同樣高的地方掉下來要么都摔碎要么都不碎），並且小於等於n。你可以假定硬度為x的雞蛋從高度小於等於x的地方摔無論如何都不會碎（沒摔碎的雞蛋可以繼續使用），而只要從比x高的地方扔必然會碎。
對每組輸入數據，你可以假定雞蛋的硬度在0至n之間，即在n+1層扔雞蛋一定會碎。
【輸出】
對於每一組輸入，輸出一個整數，表示使用最優策略在最壞情況下所需要的扔雞蛋次數。
【輸入樣例】
100 1 100 2
【輸出樣例】
100 14
【分析】
這個題目有很多地方都有分析，我也看了好幾個解答，但都說得不太明白（也許是我笨），我結合聽的講座和各家分析，加上自己的試驗作以下分析。
這時的策略大體如下：第一，最簡單的和種情況就是只有一只雞蛋，那只能從一樓開始一層一層往上走，如果第一樓就破了，那硬度就是0，否則總能找到破與不破的兩層。那意味着硬度為多少就得比硬度數多扔一次就好。如果題目給的樓層是100，那最壞的可能就是硬度為99，必須扔100次。（硬度不能為100，題目說了硬度小於n，也意味着從頂樓扔下，雞蛋一定會碎，但這一次必須要扔)。第二，如果有兩枚雞蛋呢？那第一次就不用在第一樓扔，那在多少樓扔合適？答案是第14樓。那要是破了呢？說明硬度最大13，同時我們手里的雞蛋也只有一枚了，那辦法就只有一個了：從第一樓開始往上，根據剛才的經驗，最多再扔13次就好（1-13樓全試，只有一枚雞蛋，不能冒險喲）。那要是沒破呢？又在哪扔呢？第27樓。要是破了，硬度在14-26之間，最多再試12次就可以了，加上之前14樓和27樓兩次，共14次。要是沒破，下一次選在39樓。同樣要是破了，就從28開始往上走，最多走到第38樓，共14次，要是沒破，就選50樓。。。。，以后每多一次間距就少一，均能保證14次能測出硬度。第三，為什么是14樓開始？10樓不行么？如果選10樓，要是破了，當然比剛才更快，那要是沒破呢？下一次選多少樓？20？然后30、40、50、60、70、80、90？到了60己經扔了6次了，要是破了，最壞的情況是要再扔9次，在是沒破又如何繼續？明顯不是最佳策略。那為什么是14次？按照剛才的策略1+2+3+...+14=105超過100了，說明14次一定能測出結果。第四，要是雞蛋有更多個呢？比如有三個，第一次可以考慮對分：第50樓，要是不破，再二分，75樓.....，要是破了，就相當於兩個雞蛋測50樓，1+2+3+...+10=55，再有10次就可以搞定了。如果有四個雞蛋呢？兩次就把范圍縮小到25樓了，1+2+3+...+7=28，共需9次。那要是雞蛋無限呢，最多也是全二分，2^7=128，這個就是最效率的了，換句話說，對100層樓而言，多於7個雞蛋也沒用。第五，如果有m個雞蛋n層樓呢？我們用f[n][m]記最少的次數。那可以枚舉從第k層樓扔下，有兩種情況：（1）雞蛋破了，那硬度在1-k-1之間，我們得用余下的m-1個雞蛋測試k-1層樓，這時f[n][m]=f[k-1][m-1]，（2）雞蛋沒破。那再測余下的k~n層樓就好，這時f[n][m]=f[n-k][m]，題目要求是最壞的情況，故需要取這兩種情況的最大值。故f[n][m]=max(f[k-1][m-1],f[n-k][m])+1。對所有的k的取值得到若干個f[n][m]，這個我們可以選擇k值，故把這些值再取最小值。f[n][m]=min(f[n][m],max(f[k-1][m-1],f[n-k][m])+1),這就是帥氣的狀態轉移方程了。
//1300：雞蛋的硬度 #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; int f[110][11]; int main() { int n,m; while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) { memset(f,0,sizeof(f)); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) f[i][j]=i; for(int j=1;j<=n;j++) for(int i=2;i<=m;i++) for(int k=1;k<=j;k++)//枚舉 f[j][i]=min(f[j][i],max(f[k-1][i-1],f[j-k][i])+1); /*在1~j層樓間選擇第k層扔下雞蛋，如果破了，說明硬度介於1~k-1之間 ， 問題變成用i-1個雞蛋去測k-1層樓的硬度。如果沒破則說明硬度介於k~j之間， 問題變成用i個雞蛋去測j-k層樓的硬度，題目要求是最壞的情況下，故要取兩者最大值 */ printf("%d\n",f[n][m]); } return 0; }