暴力
很多問題都可以“暴力求解”，不用動太大腦筋，把所有可能性都列舉出來，然后一一試驗。雖然暴力求解法不用動太大大腦筋，但要注意時間復雜磁。因此，對問題一定的分析往往會讓算法更加簡潔高效。
例題
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試題描述
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輸入正整數n,按從小到大順序輸出所有形如 abcde / fghij = n 的表達式,其中a - j恰好為數字0-9的一個排列(可以有前導0)2<=n <=79 |
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輸入
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n
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輸出
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abcde / fghij = n的表達式
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輸入示例
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62
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輸出示例
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79546 / 01283 = 62
94736 / 01528 = 62
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分析：枚舉0 -9 所有 排列? 沒必要,我們只需要枚舉fghij 就可以算出abcde,然后判斷所有數字都不相同即可。代碼如下。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
int n, kase = 0;
char buf[99];
while(scanf("%d", &n) == 1 && n) {
int cnt = 0;
if(kase++) printf("\n");
for(int fghij = 1234; ; fghij++) {
int abcde = fghij * n;//題目規則
sprintf(buf, "%05d%05d", abcde, fghij);//格式化
if(strlen(buf) > 10) break;//長度超過10不符合
sort(buf, buf+10);//按順序排列10個數字
bool ok = true;
for(int i = 0; i < 10; i++)//判斷是否都不相同
if(buf[i] != '0' + i) ok = false;
if(ok) {
cnt++;
printf("%05d / %05d = %d\n", abcde, fghij, n);
}
}
if(!cnt) printf("There are no solutions for %d.\n", n);
}
return 0;
}
再來一道NOIP2016普及組第四題。
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試題描述
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六十年一次的魔法戰爭就要開始了，大魔法師准備從附近的魔法場中汲取魔法能量。 大魔法師有m個魔法物品，編號分別為1,2,...,m。每個物品具有一個魔法值，我們用Xi表示編號為i的物品的魔法值。每個魔法值Xi是不超過n的正整數，可能有多個物品的魔法值相同。 大魔法師認為，當且僅當四個編號為a,b,c,d的魔法物品滿足xa<xb<xc<xd，Xb-Xa=2(Xd-Xc)，並且xb-xa<(xc-xb)/3時，這四個魔法物品形成了一個魔法陣，他稱這四個魔法物品分別為這個魔法陣的A物品，B物品，C物品，D物品。 現在，大魔法師想要知道，對於每個魔法物品，作為某個魔法陣的A物品出現的次數，作為B物品的次數，作為C物品的次數，和作為D物品的次數。 測試數據范圍：
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輸入
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輸入文件的第一行包含兩個空格隔開的正整數n和m。
接下來m行，每行一個正整數，第i+1行的正整數表示Xi，即編號為i的物品的魔法值。 保證1≤n≤15000,1≤m≤40000,1≤xi≤n。每個Xi是分別在合法范圍內等概率隨機生成的。 |
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輸出
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共輸出m行，每行四個整數。第i行的四個整數依次表示編號為i的物品作 為A,B,C,D物品分別出現的次數。
保證標准輸出中的每個數都不會超過10^9。 每行相鄰的兩個數之間用恰好一個空格隔開。 |
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輸入示例
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【測試數據1】 30 8 1 24 7 28 5 29 26 24 【測試數據2】 15 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 |
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輸出示例
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【測試數據1】 4 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 1 1 1 3 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 1 0 【測試數據2】 5 0 0 0 4 0 0 0 3 5 0 0 2 4 0 0 1 3 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 0 0 4 3 0 0 5 4 0 0 0 5 |
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其他說明
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【樣例解釋1】
共有5個魔法陣，分別為： 物品1,3,7,6，其魔法值分別為1,7,26,29; 物品1,5,2,7，其魔法值分別為1,5,24,26; 物品1,5,7,4，其魔法值分別為1,5,26,28; 物品1,5,8,7，其魔法值分別為1,5,24,26; 物品5,3,4,6，其魔法值分別為5,7,28,29。 以物品5為例，它作為A物品出現了1次，作為B物品出現了3次，沒有作為C物品或者D物品出現，所以這一行輸出的四個數依次為1,3,0,0。 此外，如果我們將輸出看作一個m行4列的矩陣，那么每一列上的m個數之和都應等於魔法陣的總數。所以，如果你的輸出不滿足這個性質，那么這個輸出一定不正確。你可以通過這個性質在一定程度上檢查你的輸出的正確性。 【數據規模】見上 |
分析:這道題如果直接暴力，時間復雜度為O(n^4)。只能拿40分。所以，我們要做一個預處理。
首先可以發現每個xx都小於n，而nn最大值只是1500015000，所以可以開一個桶來存每個魔法值出現的次數
回憶一下3個約束條件
xa<xb<xc<xdxa<xb<xc<xd ①
xb−xa=2(xd−xc)xb−xa=2(xd−xc) ②
xb−xa<(xc−xb)/3xb−xa<(xc−xb)/3 ③
現在魔改一下這三個式子
設t=xd−xct=xd−xc
所以②可化為xb−xa=2txb−xa=2t ④
將④代入③
2t<(xc−xb)/32t<(xc−xb)/3
移項一下，就變成
6t<xc−xb6t<xc−xb ⑤
再魔改一下
設6t+k=xc−xb6t+k=xc−xb（就是把差的部分補上去）
於是可以畫出來一個圖
顯然，AA的最小值為11，DD的最大值為nn
由圖可得AD=9t+kAD=9t+k
所以我們可以嘗試着枚舉t，用t來表示各個魔法值的值
由上易得t的范圍為1<=t<=(n−1)/91<=t<=(n−1)/9
在代碼中為了避免除法寫成t∗9<nt∗9<n
再枚舉D，因為我們已經枚舉出了t，所以C的值是可以直接算出來的
C=D−tC=D−t
又因為使A,B,C,DA,B,C,D滿足條件的k的最小值為1，所以對於當前的C和D，最大的A和B為A=D−9t−1,B=D−7t−1A=D−9t−1,B=D−7t−1
那么如果A和B更小怎么辦？
觀察到在其他條件不變的情況下，只要CC和BB滿足Xc−Xb>6tXc−Xb>6t，那么這個魔法陣就一定成立，所以當(a1<a2,b1<b2)(a1<a2,b1<b2)時，只要a2a2和b2b2能夠和C,DC,D組成魔法陣，a1,b1a1,b1也一定能和C,DC,D組成魔法陣，所以可以使用前綴和優化
然后又由乘法原理可得，當前魔法值作為DD物品的個數為SumD=SumA∗SumB∗SumCSumD=SumA∗SumB∗SumC
所以我們利用前綴和優化SumA∗SumBSumA∗SumB
C的情況可以順便在算D的時候算出來
那么還有一個問題是，我們枚舉的D的范圍是多少？
因為要統計前綴和，所以一定是要順推下去的，由上面那張圖我們可以知道，D的最大值為n，最小值則為當k=1且A=1的時候，所以D的最小值為9∗t+29∗t+2，再小是無法組成魔法陣的
同理可以枚舉A
但是這個的情況又和枚舉D的情況有一點不同
在其他條件不變的情況下，只要CC和BB滿足Xc−Xb>6tXc−Xb>6t，那么這個魔法陣就一定成立，所以當(c1<c2,d1<d2)(c1<c2,d1<d2)時，只要c1c1和d1d1能夠和A,BA,B組成魔法陣，c2,d2c2,d2也一定能和A,BA,B組成魔法陣，所以可以使用后綴和優化
因為需要統計后綴和，所以需要逆推
枚舉的范圍：A的最大值為(n−t∗9−1)(n−t∗9−1)(因為當k=1，D=n的時候A才最大)，A的最小值則為1
所以就可以算出每個魔法值作為A,B,C,DA,B,C,D物品的次數了，輸出時直接輸出當前魔法物品的魔法值的次數就可以了。代碼如下。
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline int read(){
int x=0,f=1;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-f;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
return x*f;
}
#define N 50010
int n,m;
int a[N],b[N],c[N],d[N];
int x[N],vis[N];
int main(){
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=m;i++)
x[i]=read(),vis[x[i]]++;
for(int t=1;t*9<n;t++){
int sum=0;
for(int D=9*t+2;D<=n;D++){
int A=D-9*t-1;
int B=A+2*t;
int C=D-t;
sum+=vis[A]*vis[B];
c[C]+=vis[D]*sum;
d[D]+=vis[C]*sum;
}
sum=0;
for(int A=n-9*t-1;A;A--){
int B=A+2*t;
int C=B+6*t+1;
int D=A+9*t+1;
sum+=vis[C]*vis[D];
a[A]+=vis[B]*sum;
b[B]+=vis[A]*sum;
}
}
for(int i=1;i<=m;i++){
printf("%d %d %d %d\n",a[x[i]],b[x[i]],c[x[i]],d[x[i]]);
}
return 0;
}