暴力
很多问题都可以“暴力求解”，不用动太大脑筋，把所有可能性都列举出来，然后一一试验。虽然暴力求解法不用动太大大脑筋，但要注意时间复杂磁。因此，对问题一定的分析往往会让算法更加简洁高效。
例题
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试题描述
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输入正整数n,按从小到大顺序输出所有形如 abcde / fghij = n 的表达式,其中a - j恰好为数字0-9的一个排列(可以有前导0)2<=n <=79 |
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输入
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n
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输出
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abcde / fghij = n的表达式
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输入示例
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62
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输出示例
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79546 / 01283 = 62
94736 / 01528 = 62
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分析：枚举0 -9 所有 排列? 没必要,我们只需要枚举fghij 就可以算出abcde,然后判断所有数字都不相同即可。代码如下。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
int n, kase = 0;
char buf[99];
while(scanf("%d", &n) == 1 && n) {
int cnt = 0;
if(kase++) printf("\n");
for(int fghij = 1234; ; fghij++) {
int abcde = fghij * n;//题目规则
sprintf(buf, "%05d%05d", abcde, fghij);//格式化
if(strlen(buf) > 10) break;//长度超过10不符合
sort(buf, buf+10);//按顺序排列10个数字
bool ok = true;
for(int i = 0; i < 10; i++)//判断是否都不相同
if(buf[i] != '0' + i) ok = false;
if(ok) {
cnt++;
printf("%05d / %05d = %d\n", abcde, fghij, n);
}
}
if(!cnt) printf("There are no solutions for %d.\n", n);
}
return 0;
}
再来一道NOIP2016普及组第四题。
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试题描述
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六十年一次的魔法战争就要开始了，大魔法师准备从附近的魔法场中汲取魔法能量。 大魔法师有m个魔法物品，编号分别为1,2,...,m。每个物品具有一个魔法值，我们用Xi表示编号为i的物品的魔法值。每个魔法值Xi是不超过n的正整数，可能有多个物品的魔法值相同。 大魔法师认为，当且仅当四个编号为a,b,c,d的魔法物品满足xa<xb<xc<xd，Xb-Xa=2(Xd-Xc)，并且xb-xa<(xc-xb)/3时，这四个魔法物品形成了一个魔法阵，他称这四个魔法物品分别为这个魔法阵的A物品，B物品，C物品，D物品。 现在，大魔法师想要知道，对于每个魔法物品，作为某个魔法阵的A物品出现的次数，作为B物品的次数，作为C物品的次数，和作为D物品的次数。 测试数据范围：
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输入
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输入文件的第一行包含两个空格隔开的正整数n和m。
接下来m行，每行一个正整数，第i+1行的正整数表示Xi，即编号为i的物品的魔法值。 保证1≤n≤15000,1≤m≤40000,1≤xi≤n。每个Xi是分别在合法范围内等概率随机生成的。 |
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输出
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共输出m行，每行四个整数。第i行的四个整数依次表示编号为i的物品作 为A,B,C,D物品分别出现的次数。
保证标准输出中的每个数都不会超过10^9。 每行相邻的两个数之间用恰好一个空格隔开。 |
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输入示例
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【测试数据1】 30 8 1 24 7 28 5 29 26 24 【测试数据2】 15 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 |
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输出示例
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【测试数据1】 4 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 0 0 1 1 1 3 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 1 0 【测试数据2】 5 0 0 0 4 0 0 0 3 5 0 0 2 4 0 0 1 3 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 0 3 2 0 0 4 3 0 0 5 4 0 0 0 5 |
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其他说明
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【样例解释1】
共有5个魔法阵，分别为： 物品1,3,7,6，其魔法值分别为1,7,26,29; 物品1,5,2,7，其魔法值分别为1,5,24,26; 物品1,5,7,4，其魔法值分别为1,5,26,28; 物品1,5,8,7，其魔法值分别为1,5,24,26; 物品5,3,4,6，其魔法值分别为5,7,28,29。 以物品5为例，它作为A物品出现了1次，作为B物品出现了3次，没有作为C物品或者D物品出现，所以这一行输出的四个数依次为1,3,0,0。 此外，如果我们将输出看作一个m行4列的矩阵，那么每一列上的m个数之和都应等于魔法阵的总数。所以，如果你的输出不满足这个性质，那么这个输出一定不正确。你可以通过这个性质在一定程度上检查你的输出的正确性。 【数据规模】见上 |
分析:这道题如果直接暴力，时间复杂度为O(n^4)。只能拿40分。所以，我们要做一个预处理。
首先可以发现每个xx都小于n，而nn最大值只是1500015000，所以可以开一个桶来存每个魔法值出现的次数
回忆一下3个约束条件
xa<xb<xc<xdxa<xb<xc<xd ①
xb−xa=2(xd−xc)xb−xa=2(xd−xc) ②
xb−xa<(xc−xb)/3xb−xa<(xc−xb)/3 ③
现在魔改一下这三个式子
设t=xd−xct=xd−xc
所以②可化为xb−xa=2txb−xa=2t ④
将④代入③
2t<(xc−xb)/32t<(xc−xb)/3
移项一下，就变成
6t<xc−xb6t<xc−xb ⑤
再魔改一下
设6t+k=xc−xb6t+k=xc−xb（就是把差的部分补上去）
于是可以画出来一个图
显然，AA的最小值为11，DD的最大值为nn
由图可得AD=9t+kAD=9t+k
所以我们可以尝试着枚举t，用t来表示各个魔法值的值
由上易得t的范围为1<=t<=(n−1)/91<=t<=(n−1)/9
在代码中为了避免除法写成t∗9<nt∗9<n
再枚举D，因为我们已经枚举出了t，所以C的值是可以直接算出来的
C=D−tC=D−t
又因为使A,B,C,DA,B,C,D满足条件的k的最小值为1，所以对于当前的C和D，最大的A和B为A=D−9t−1,B=D−7t−1A=D−9t−1,B=D−7t−1
那么如果A和B更小怎么办？
观察到在其他条件不变的情况下，只要CC和BB满足Xc−Xb>6tXc−Xb>6t，那么这个魔法阵就一定成立，所以当(a1<a2,b1<b2)(a1<a2,b1<b2)时，只要a2a2和b2b2能够和C,DC,D组成魔法阵，a1,b1a1,b1也一定能和C,DC,D组成魔法阵，所以可以使用前缀和优化
然后又由乘法原理可得，当前魔法值作为DD物品的个数为SumD=SumA∗SumB∗SumCSumD=SumA∗SumB∗SumC
所以我们利用前缀和优化SumA∗SumBSumA∗SumB
C的情况可以顺便在算D的时候算出来
那么还有一个问题是，我们枚举的D的范围是多少？
因为要统计前缀和，所以一定是要顺推下去的，由上面那张图我们可以知道，D的最大值为n，最小值则为当k=1且A=1的时候，所以D的最小值为9∗t+29∗t+2，再小是无法组成魔法阵的
同理可以枚举A
但是这个的情况又和枚举D的情况有一点不同
在其他条件不变的情况下，只要CC和BB满足Xc−Xb>6tXc−Xb>6t，那么这个魔法阵就一定成立，所以当(c1<c2,d1<d2)(c1<c2,d1<d2)时，只要c1c1和d1d1能够和A,BA,B组成魔法阵，c2,d2c2,d2也一定能和A,BA,B组成魔法阵，所以可以使用后缀和优化
因为需要统计后缀和，所以需要逆推
枚举的范围：A的最大值为(n−t∗9−1)(n−t∗9−1)(因为当k=1，D=n的时候A才最大)，A的最小值则为1
所以就可以算出每个魔法值作为A,B,C,DA,B,C,D物品的次数了，输出时直接输出当前魔法物品的魔法值的次数就可以了。代码如下。
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline int read(){
int x=0,f=1;char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-f;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
return x*f;
}
#define N 50010
int n,m;
int a[N],b[N],c[N],d[N];
int x[N],vis[N];
int main(){
n=read();m=read();
for(int i=1;i<=m;i++)
x[i]=read(),vis[x[i]]++;
for(int t=1;t*9<n;t++){
int sum=0;
for(int D=9*t+2;D<=n;D++){
int A=D-9*t-1;
int B=A+2*t;
int C=D-t;
sum+=vis[A]*vis[B];
c[C]+=vis[D]*sum;
d[D]+=vis[C]*sum;
}
sum=0;
for(int A=n-9*t-1;A;A--){
int B=A+2*t;
int C=B+6*t+1;
int D=A+9*t+1;
sum+=vis[C]*vis[D];
a[A]+=vis[B]*sum;
b[B]+=vis[A]*sum;
}
}
for(int i=1;i<=m;i++){
printf("%d %d %d %d\n",a[x[i]],b[x[i]],c[x[i]],d[x[i]]);
}
return 0;
}