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在科學計算和工程應用中，經常會遇到需要擬合一系列的離散數據，最近找了很多相關的文章方法，在這里進行總結一下其中最完整、幾乎能解決所有離散參數非線性擬合的方法
第一步：得到散點數據
根據你的實際問題得到一系列的散點
例如：
x=[3.2,3.6,3.8,4,4.2,4.8,5,5.4,6.2,6.4,6.6,6.9,7.1]';%加上一撇表示對矩陣的轉置
y=[0.38,0.66,1,0.77,0.5,0.66,0.83,1,0.71,0.71,1,0.87,0.83]';
第二步：確定函數模型
根據上述的實際散點確定應該使用什么樣的曲線，或者說是想要模擬的曲線
t=[3.2,3.6,3.8,4,4.2,4.8,5,5.4,6.2,6.4,6.6,6.9,7.1]';
tt=[0.38,0.66,1,0.77,0.5,0.66,0.83,1,0.71,0.71,1,0.87,0.83]';
plot(t,tt,'.');%得到散點圖
散點圖如下所示：
我們已知現存的幾種典型的（也是絕大多數情況下的函數模型）
選定一個與散點圖像相匹配的函數模型，在此例中我們選擇典型的S型曲線模型y= 1/(a+b*e^(-x))，其實此處的函數模型可以任意。
第三步：確定選用函數模型中的未知參數
首先了解一下matlab中的inline函數，inline是用來定義內聯函數的
比如說：
y=inline('sin(x)','x') %第一個參數是表達式，第二個參數是函數變量
y(0) %計算sin(0)的值
y(pi) %計算sin(pi)的值
q=quad(y,0,1); %計算sin(x) 在0到1上的積分
之后，我們在代碼中進行函數的定義
x=[3.2,3.6,3.8,4,4.2,4.5,4.8,5,5.3,5.4,5.6,5.8,6,6.2,6.4,6.6,6.9,7.1]';
y=[0.38,0.66,1,0.77,0.5,0.33,0.66,0.83,0.33,1,0.33,0.5,0.33,0.71,0.71,1,0.87,0.83]';
myfunc = inline('1./(beta(1)+beta(2).*exp(-x))','beta','x');%三個參數分別為：函數模型(注意需要使用點除和點乘)，待定系數，自變量
beta0 = [0.2,0.2]';%待定系數的預估值
beta = nlinfit(x,y,myfunc,beta0);%
其中，beta返回了非線性擬合之后的待定系數，beta(1)和beta(2)表示待定系數，可以為任意數量的擴展beta(n)，也就說明了選擇函數模型的自由性，甚至可以有100個參數！
beta0表示的是函數模型中待定系數的預估值，可以任意設定
matlab 中的nlinfit(x,y,f,a)函數：用於擬合非線性表達式的函數
f:符號函數句柄,如果是以m文件的形式調用的時候,別忘記加@.這里需要注意,f函數的返回值是和y匹對的,即擬合參數的標准是(f-y)^2取最小值,具體看下面的例子
a:最開始預估的值(預擬合的未知參數的估計值)。如上面的問題如果我們預估A為1,B為2,則a=[1 2]
x:我們已經獲知的x的值
y:我們已經獲知的x對應的y的值（這部分不懂的在matlab中help命令進行了解）
求解出beta的大小：beta(1) = 1.1562 beta(2) = 15.1875;
畫圖：使用plot()函數
t=[3.2,3.6,3.8,4,4.2,4.8,5,5.4,6.2,6.4,6.6,6.9,7.1]';
tt=[0.38,0.66,1,0.77,0.5,0.66,0.83,1,0.71,0.71,1,0.87,0.83]';
plot(t,tt,'.');
hold on%保證同時顯示
x = 0:0.01:8;
y = 1./(1.1562+15.1875.*exp(-x));
plot(x,y);
結果：是不是很棒！~，另外可以自行加上對應的橫縱坐標內容，這里就不多說了。
總結一下matlab非線性擬合散點圖的過程：得到散點數據=>確定函數模型=>求解函數模型的待定系數=>得到擬合函數的具體形式=>畫出擬合圖像
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用過Matlab的擬合、優化和統計等工具箱的網友，會經常遇到下面幾個名詞：
SSE(和方差、誤差平方和)：The sum of squares due to error
MSE(均方差、方差)：Mean squared error
RMSE(均方根、標准差)：Root mean squared error
R-square(確定系數)：Coefficient of determination
Adjusted R-square：Degree-of-freedom adjusted coefficient of determination
下面我對以上幾個名詞進行詳細的解釋下，相信能給大家帶來一定的幫助！！
一、SSE(和方差)
該統計參數計算的是擬合數據和原始數據對應點的誤差的平方和，計算公式如下
SSE越接近於0，說明模型選擇和擬合更好，數據預測也越成功。接下來的MSE和RMSE因為和SSE是同出一宗，所以效果一樣
二、MSE(均方差)
該統計參數是預測數據和原始數據對應點誤差的平方和的均值，也就是SSE/n，和SSE沒有太大的區別，計算公式如下
三、RMSE(均方根)
該統計參數，也叫回歸系統的擬合標准差，是MSE的平方根，就算公式如下
在這之前，我們所有的誤差參數都是基於預測值(y_hat)和原始值(y)之間的誤差(即點對點)。從下面開始是所有的誤差都是相對原始數據平均值(y_ba)而展開的(即點對全)!!!
四、R-square(確定系數)
在講確定系數之前，我們需要介紹另外兩個參數SSR和SST，因為確定系數就是由它們兩個決定的
(1)SSR：Sum
of squares of the regression，即預測數據與原始數據均值之差的平方和，公式如下
(2)SST：Total sum of squares，即原始數據和均值之差的平方和，公式如下
細心的網友會發現，SST=SSE+SSR，呵呵只是一個有趣的問題。而我們的“確定系數”是定義為SSR和SST的比值，故
其實“確定系數”是通過數據的變化來表征一個擬合的好壞。由上面的表達式可以知道“確定系數”的正常取值范圍為[0
1]，越接近1，表明方程的變量對y的解釋能力越強，這個模型對數據擬合的也較好。