主要參考大佬博客：https://blog.csdn.net/u011815404/article/details/86590498
歐拉圖
歐拉圖是在大家小學時學奧數都學習過的一個類型的題，無論你學得好不好，你都聽過它的另外一個名字：一筆畫問題；
一，首先來定義一下：
1.歐拉回路：圖G的一個回路，如果恰通過圖G的每一條邊，則該回路稱為歐拉回路，具有歐拉回路的圖稱為歐拉圖。歐拉圖就是從圖上的一點出發，經過所有邊且只能經過一次，最終回到起點的路徑。
2.歐拉通路：即可以不回到起點，但是必須經過每一條邊，且只能一次。也叫"一筆畫"問題。
3.基圖：基圖是針對有向圖的說法，是忽略有向圖的方向得到的無向圖。
4.歐拉圖:存在歐拉回路的圖。
歐拉回路一定要首尾相連，，通路不一定。
二.性質與定理
先說說有向圖和無向圖，顯而易見，有向圖就是有向的圖，而無向圖反之亦然。
呃，，此處及以下全轉載至大佬博客：https://blog.csdn.net/qq_35649707/article/details/75578102
性質與定理
定理1
無向圖G為歐拉圖，當且僅當G為連通圖且所有頂點的度為偶數。
證明： 必要性
設圖G的一條歐拉回路為C。由於C經過圖G的每一條邊，而圖G沒 有孤立點，所以C也經過圖G的每一個頂點，G為連通圖成立。而對於圖G的任意一個頂點 v，經過C時都是從一條邊進入，從另一條邊離開，因此v經過C的關聯邊的次數為偶數。又由於C不重復地經過了圖G的每一條邊，因此 的度為偶數。
充分性
假設圖G中不存在回路，而G是連通圖，故 一定是G樹，那么有|E|=|V|−1 |E|=|V|−1|E|=|V|-1由於圖G所有頂點的度為偶數而且不含孤立點，那么圖G的每一個頂點的度至少為2。
推論1
無向圖G為半歐拉圖，當且僅當G為連通圖且除了兩個頂點的度為奇數之外， 其它所有頂點的度為偶數。
證明：將兩個度為奇數的頂點連接，由定理一得該圖為歐拉圖，故去掉環上一邊為半歐拉圖。
定理2
有向圖G為歐拉圖，當且僅當G的基圖連通，且所有頂點的入度等於出度。
推論2
有向圖G為半歐拉圖，當且僅當G的基圖連通，且存在頂點u的入度比出度大1 、v的入度比出度小 1，其它所有頂點的入度等於出度。證明同定理1相似。
性質1
設C是歐拉圖G中的一個簡單回路，將C中的邊從圖G中刪去得到一個新的圖G ′ ′^{'},則 G ′ ′^{'}的每一個極大連通子圖都有一條歐拉回路。
證明 若G為無向圖，則圖G ′ ′^{'}的各頂點的度為偶數；若G為有向圖，則圖 G ′ ′^{'}的各頂點的入度等於出度。
性質2
設 C1、C2是圖G的兩個沒有公共邊，但有至少一個公共頂點的簡單回路，我們可以將它們合並成一個新的簡單回路 。
三.如何判定（是不是歐拉回路/圖)
以下全是我個人理解，完全依據於小奧的學習經驗，不一定全對，有錯請指出。
我說的盡量簡單一點：
首先每一個點都有它的度：即與它相連的邊的個數
我們把奇度的點稱為奇點，反之偶點
根據奧數知識一句話則可以判斷無向圖是否是歐拉圖：有0或2個奇點
但是對於有向圖判斷則復雜一些：每條邊只經過一次而且每個點也只過一次
四。如何實現判定
下面用一道模板題來簡述一下吧。附:歐拉樹的題往往無法判斷是圖論題
見下：
題目描述
給定n個各不相同的無序字母對（區分大小寫，無序即字母對中的兩個字母可以位置顛倒）。請構造一個有n+1個字母的字符串使得每個字母對都在這個字符串中出現。
輸入輸出格式
輸入格式：
第一行輸入一個正整數n。
以下n行每行兩個字母，表示這兩個字母需要相鄰。
輸出格式：
輸出滿足要求的字符串。
如果沒有滿足要求的字符串，請輸出“No Solution”。
如果有多種方案，請輸出前面的字母的ASCII編碼盡可能小的（字典序最小）的方案
輸入樣例#1： 輸出樣例#1：
4 XaZtX aZ tZ Xt aX
是不是很迷？
但是附上代碼你就會懂了。。。。
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> using namespace std; int a[500][500]; int du[200]; char lu[500]; void Find(int now) { for(int i = 'A';i <= 'z';++ i){//字典序從小開始找 if(a[now][i]){ a[now][i] = 0; a[i][now] = 0; Find(i); } } lu[++k] = now;//題目要求記錄的路徑 } int main() { int n; cin>>n; char x,y; for(int i = 1;i <= n;++ i) { cin >> x >> y; a[x][y] = 1; a[y][x] = 1; du[x] ++;//此處du數組記錄了每個點的度數 du[y] ++; } for(int i = 'z';i >= 'A';-- i) { if(du[i] % 2==1) start = i,m ++;//m記錄圖中奇數度數點的個數，同時將起點start定為此點 } if(m != 0&&m != 2) {//由歐拉圖的性質可得，如果一個圖奇數度數點個數不為0或2則不存在歐拉路徑 cout << "No Solution"; return 0; } if(m == 0) {//當圖中所有點為偶數度數時，圖中存在歐拉回路，只需要找到字典序最小的點作起點start for(int i = 'A';i <= 'z';++ i) if(du[i]) { start = i; break; } Find(start); } int str=strlen(lu); for(int j=1;j<=str;j++) cout<<lu[j]; cout<<endl; return 0; }
好了，歐拉圖就掌握到模板題吧，，對我而言
如果大佬們想刷題
請見：
模板題： poj:1041 john’s trip
http://poj.org/problem?id=1041
(無向圖歐拉回路&路徑輸出，模板題，很經典。）
hdu:3018 ant trip
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3018
(並查集:歐拉回路的問題)
一般難度： POJ:1386 Play on Words
http://poj.org/problem?id=1386
(判定有向圖圖歐拉路徑是否存在)
POJ 1300 Door Man
http://poj.org/problem?id=1300
(無向圖歐拉通路和回路的判定+並查集)
究極難度:
大視野oj:太鼓達人
https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3033
這道題是無意中翻到的，完全沒看出來是歐拉圖。需要強大的數學功底才能進行轉化（要用歐拉回路判定+dfs+回溯做）。
這里選了一個題解（思路講的較為清晰，有圖解）
太鼓達人題解
https://blog.csdn.net/Clove_unique/article/details/70160122
uva:10735
是道紫題，此處給的是洛谷傳送門
https://www.luogu.org/problemnew/show/P3372
洛谷題解挺詳細，大家可以看看。
poj:1637 Sightseeing tour
http://poj.org/problem?id=1637
一道好題,網絡流加混合歐拉圖（大佬如是說）。