一. 基本概念
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歐拉圖是指通過圖（無向圖或有向圖）中所有邊且每邊僅通過一次通路，相應的回路稱為歐拉回路。具有歐拉回路的圖稱為歐拉圖（\(Euler Graph\)），具有歐拉通路而無歐拉回路的圖稱為半歐拉圖。（\(from\)百度百科）
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有沒有發現很像小時候玩的一筆畫問題？
歐拉路分為歐拉通路和歐拉回路
歐拉通路：從一個點出發，不重復地經過每條邊，從另一個點結束。
歐拉回路：從一個點出發，不重復地經過每條邊，又回到該點結束。
判斷方法（性質）：
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無向圖
通路：有且僅有兩個點的度數為奇數，其他點的度數均為偶數。
回路：所有點的度數均為偶數。
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有向圖
通路：有一個點的出度比入度大 \(1\),另一個點的出度比入度小 \(1\)，其他點的出度與入度相等。
回路：所有點的出度與入度相等。
二. 判斷方法
判斷一個圖是否有歐拉通路或歐拉回路，一般用到弗勒里（\(Fleury\)）算法。該算法用 \(DFS\) 實現。（大法師又雙叒叕登場了）
\({\color{Red}{Fleury 算法的核心是：除非都是橋，否則走非橋邊。}}\)
\({\color{Green}{但實際上並不需要判斷是不是橋，當走完某條邊后不能再走時，我們將其放入棧內（不是隊列！！！），當全部邊都走過后再把棧內的邊輸出。}}\)
舉個栗子
\(DFS\) 開始，從 \(1\) 號點出發，我們的遍歷順序：
\(1 \to 2 \quad 2 \to 3 \quad 3 \to 1\)
這時發現走不動了，於是我們回溯到 \(3\) 號點，棧內情況：
| \(3 \to 1\) |
|---|
\(3\) 號點也走不了了，回溯到 \(2\) 號點，棧內情況:
| \(2 \to 3\) |
|---|
| \(3 \to 1\) |
\(2\) 號點繼續走：
\(2 \to 4 \quad 4 \to 5 \quad 5 \to 2\)
\(2\) 號點走不了了，回溯，棧內情況：
| \(5 \to 2\) |
|---|
| \(2 \to 3\) |
| \(3 \to 1\) |
\(5\) 號點回溯：
| \(4 \to 5\) |
|---|
| \(5 \to 2\) |
| \(2 \to 3\) |
| \(3 \to 1\) |
\(4\) 號點回溯：
| \(2 \to 4\) |
|---|
| \(4 \to 5\) |
| \(5 \to 2\) |
| \(2 \to 3\) |
| \(3 \to 1\) |
\(2\) 號點回溯：
| \(1 \to 2\) |
|---|
| \(2 \to 4\) |
| \(4 \to 5\) |
| \(5 \to 2\) |
| \(2 \to 3\) |
| \(3 \to 1\) |
\(1\) 號點也走不了，\(DFS\) 結束。
最終輸出路徑：
\(1 \to 2 \quad 2 \to 4 \quad 4 \to 5 \quad 5 \to 2 \quad 2 \to 3 \quad 3 \to 1\)
這是一條符合條件的路徑。
三. 小試牛刀
Problem A: 世界人民大團結 \(\color{Red}{Special\,Judge}\)
Description
現在，世界的主題是和平與發展。社會學博士老 \(Z\) 認為，要實現和平發展，首先要實現世界人民大團結。
世界上有 \(n\) 個人。他們胸前和背后各有一個自然數，大於或等於 \(0\) 且小於或等於 \(6\)。兩個身上帶有某個相同數字的人把身上相同的數字合在一起，就實現了團結。比如，\((0,1)(1,2)\) 就實現了團結，而 \((0,1)(2,1)\) 和 \((0,0)(1,2)\) 都不是團結。把數合在一起的方法，是胸靠胸、背靠背、背靠胸或胸靠背。請判斷世界人民能否實現大團結。如果能，請輸出大團結的實現方案。
Input
第一行，一個正整數 \(n\)，表示世界上有 \(n\) 個人。
剩余 \(n\) 行，每行是用空格隔開的兩個自然數，大於等於 \(0\) 且小於等於 \(6\)，第 \((i+1)\) 行表示第 \(i\) 個人胸前和背后的數字。
Output
如大團結可以實現，輸出 \(n\) ，每行兩個空格隔開的數字。第一個是人的編號（同輸入）；第二個是“\(-\)”或“\(+\)”，“\(+\)”表示這個人胸在前，背在后，“\(-\)”反之。人們按照你輸出的順序和面對的方向從前到后站立。具體參見樣例。
如大團結不能實現，輸出一行“\(No\,Solution\)”（不含引號）。
Sample Input
| 5 | |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 4 |
| 2 | 4 |
| 6 | 4 |
| 2 | 1 |
Sample Output
| 2 | - |
|---|---|
| 5 | + |
| 1 | + |
| 3 | + |
| 4 | - |
HINT
對於 \(100\%\) 的數據，\(1 \le n \le 100\)
思路
模板題，將數字看成點，人看成邊，起點隨便選（如最小的點）。
\(\color{Blue}{（樣例沒過，害得我調了半天，結果發現是Special Judge……）}\)
參考代碼
#include <iostream>
#include <stack>
using namespace std;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXN = 1e2 + 5;
int n, cnt, s = INF;
int du[MAXN], e[MAXN][MAXN], a[MAXN], b[MAXN];
stack <int> st;
void dfs(int now)
{
for (int i = 0; i <= 6; ++i)
{
if (e[now][i])
{
--e[now][i];
--e[i][now];
--du[now];
--du[i];
dfs(i);
}
}
st.push(now);
}
void euler()
{
int last = st.top();
st.pop();
while (!st.empty())
{
int now = st.top();
st.pop();
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
if (a[i] == last && b[i] == now)
{
cout << i << " +\n";
a[i] = -INF;
b[i] = -INF;
break;
}
else if (a[i] == now && b[i] == last)
{
cout << i << " -\n";
a[i] = -INF;
b[i] = -INF;
break;
}
}
last = now;
}
}
int main()
{
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
cin >> a[i] >> b[i];
++du[a[i]];
++du[b[i]];
s = min(s, min(a[i], b[i]));
++e[a[i]][b[i]];
++e[b[i]][a[i]];
}
for (int i = 0; i <= 6; ++i)
{
if (du[i] % 2)
{
++cnt;
if (cnt == 1)
{
s = i;
}
}
}
if (cnt != 0 && cnt != 2)
{
puts("No Solution");
return 0;
}
dfs(s);
for (int i = 0; i <= 6; ++i)
{
if (du[i])
{
puts("No Solution");
return 0;
}
}
euler();
return 0;
}
/**************************************************************
Language: C++
Result: Accepted
Time:0 ms
Memory:2224 kb
****************************************************************/