今天我們來談一談素數的判定。
對於每一個OIer來說，在漫長的練習過程中，素數不可能不在我們的眼中出現，那么判定素數也是每一個OIer應該掌握的操作，那么我們今天來分享幾種從暴力到高效的判定方法。
1.直觀判斷法
因為這種方法其實就是我們平常所說的暴力法。根據素數的定義，不能被2~n-1之內的數整除的整數n就被稱為素數。所以我們從2跑到n-1，每次取模判斷即可，這是最直觀的一種方法，代碼如下：
bool isPrime_1(int num)
{
int tmp=num-1;
for(int i=2;i<=tmp;i++)
if(num%i==0)
return 0;
return 1;
}
2.直觀判斷優化法
上述判斷方法，明顯存在效率極低的問題。對於每個數n，其實並不需要從2判斷到n-1，我們知道，一個數若可以進行因數分解，那么分解時得到的兩個數一定是一個小於等於sqrt(n)，一個大於等於sqrt(n)，據此，上述代碼中並不需要遍歷到n-1，遍歷到sqrt(n)即可，因為若sqrt(n)左側找不到約數，那么右側也一定找不到約數！所以從2跑到sqrt（n）就可以了。代碼如下：
bool isPrime_2(int num)
{
int tmp=sqrt(num);
for(int i=2;i<=tmp;i++)
if(num%i==0)
return 0;
return 1;
}
3.另一種方法（沒想名字）
這個方法我也忘記是在哪一篇博客上看到過的了，如果博主看到了聯系我來補版權引用
首先看一個關於質數分布的規律：大於等於5的質數一定和6的倍數相鄰。例如5和7，11和13,17和19等等；
證明：令x≥1，將大於等於5的自然數表示如下：
······ 6x-1，6x，6x+1，6x+2，6x+3，6x+4，6x+5，6(x+1），6(x+1)+1 ······
明顯可以看到，不在6的倍數兩側，即6x兩側的數為6x+2，6x+3，6x+4，由於2(3x+1)，3(2x+1)，2(3x+2)，所以它們一定不是素數，再除去6x本身，顯然，素數要出現只可能出現在6x的相鄰兩側。這里要注意的一點是，在6的倍數相鄰兩側並不一定就是質數。
此時判斷質數可以以6為單位快進，即將方法（2）循環中i++步長加大為6，加快判斷速度，原因是，假如要判定的數為n，則n必定是6x-1或6x+1的形式，對於循環中6i-1，6i，6i+1,6i+2，6i+3，6i+4，其中如果n能被6i，6i+2，6i+4整除，則n至少得是一個偶數，但是6x-1或6x+1的形式明顯是一個奇數，故不成立；另外，如果n能被6i+3整除，則n至少能被3整除，但是6x能被3整除，故6x-1或6x+1（即n）不可能被3整除，故不成立。綜上，循環中只需要考慮6i-1和6i+1的情況，即 循環的步長可以定為6，每次判斷循環變量k和k+2的情況即可。
代碼實現也很簡單，不過需要注意的是有兩種情況需要特判：
1.這個數是1，需要返回false;
2.這個數是2或3，需要返回true;
其他的按照上面的思路打出來就對了，代碼如下：
bool isPrime_3(int num)
{
if(num==1)
return 0;
if(num==2||num==3)
return 1;
if(num%6!=1&&num%6!=5)
return 0;
int tmp=sqrt(num);
for(int i=5;i<=tmp;i+=6)
if(num%i==0||num%(i+2)==0)
return 0;
return 1;
}
接下來來測試一下用時；
注意：下面的用時是指從1~n分別判定是不是素數，不是判定一次！
那么就先把數據范圍調到40W;
運行結果：
很明顯，方法1實在太慢了！但是！雖然方法2已經很快速了，但耗時依然是方法3的三倍多！足以證明第三種方法的快速。
那接下來單獨比較方法2和方法3，把n調到1000w試試、
運行結果：
數據到了1000w的時候，方法3完全展示出了它的優勢，這種用時在判定素數的方法中是非常節省用時得了。
看懂了上面的方法，分別用着去試一下過這道題目：
ov.