Huffman Tree (哈夫曼樹學習)

WPL 和哈夫曼樹

哈夫曼樹，又稱最優二叉樹，是一棵帶權值路徑長度(WPL，Weighted Path Length of Tree)最短的樹，權值較大的節點離根更近。

首先介紹一下什么是 WPL，其定義是樹的所有葉結點的帶權路徑長度之和，稱為樹的帶權路徑長度，公式為 WPL = W1 * L1 + W2 * L2 + W3 * L3 + ... + Wn * Ln。

下面是個最簡單且最直觀的案例，通過實際案例能夠更清晰的表示 WPL 和哈夫曼樹。

百分制的成績轉換成五分制的成績，偽代碼如下：

if (score < 60) grade = 1;
else if (score < 70) grade = 2;
else if (score < 80) grade = 3;
else if (score < 90) grade = 4;
else grade = 5;

通過這個規則，可以生成一棵判定樹，如下：

             score < 60
            /          \
   grade = 1            score < 70
                       /          \
              grade = 2            score < 80
                                  /          \
                         grade = 3            score < 90
                                             /          \
                                    grade = 4            grade = 5

根據判定樹可以看出：對於 60 分以下的分數，只需要一次就能夠給出結果；對於 60~70 分的成績，需要判斷 2 次給出結果；對於 70~80 的成績則需要判斷 3 次，依次類推。

那么問題來了，絕大多數成績處於 80~90 分，只有少數成績處於 60 分以下及 90 分以上，那判斷的次數是不是有點多呢？其中這個"絕大多數"和"少數"就是一個權值的概念了。

比如成績分布如下：

| 成績 |  0~59  |  60~70  |  70~80  |  80~90  |  90~100  |
| 比例 |  0.05  |  0.15   |  0.30   |   0.40  |   0.10   |

那么判斷次數等於： WPL = 0.05 * 1 + 0.15 * 2 + 0.30 * 3 + 0.40 * 4 + 0.10 * 5 = 3.35

這里產生一個想法：假如把 80~90 的判斷拿到最前面，不就能夠減少大部分成績的計算路徑了嗎？

修改后的判定樹應該是這樣的 

                                       score < 80
                                /                     \
                     score < 70                        score < 90
                    /          \                      /          \
          score < 60            grade = 3    grade = 4            grade = 5
         /          \
grade = 1            grade = 2

其判斷次數等於：WPL = 0.40 * 2 + 0.30 * 2 + 0.10 * 2 + 0.15 * 3 + 0.05 * 3 = 2.2

通過上面的案例，就能夠得出結論，哈夫曼樹能夠根據節點的查找頻率來構造更有效的搜索樹，是 WPL 最小的樹。

哈夫曼樹的構造可以理解為將權值最小的兩棵二叉樹合並，這個樹的權值等於 2 個子樹的和。

關於如何選取兩個權值最小的二叉樹，可以使用最小堆實現，復雜度是 O(N log N)。

比如權值：{1,2,3,4,5}，可以得出：

            15   // 輸出 15
          /    \
       6         9   // 取出 4，5 ；輸出 9，得出 {6,9}
      / \       / \
    3     3    4   5  // 取出 3，3 ；輸出 6，得出 {6,4,5}
   / \
  1   2    // 取出 1，2 ；輸出 3，得出 {3,3,4,5}

計算以下 WPL = 2 * 3 + 2 * 4 + 2 * 5 + 3 * 1 + 3 * 2 = 33

哈夫曼樹的特點：

• 沒有度為 1 的節點(即不存在只有一個子節點的節點)
• n 個葉子節點的哈夫曼樹，總節點數為 2n-1
• n0：葉節點總數
• n1：只有一個子節點的節點總數
• n2：有兩個子節點的節點總數
• 那么 n2 = n0 - 1
• 由於沒有度為 1 的節點，所以其總節點數為 n + n - 1 = 2n-1
• 哈夫曼樹任意非葉節點的左右子樹交換后仍是哈夫曼樹
• 對同一權值{W1,W2,W3,...,Wn}，允許存在不同構造的兩顆哈夫曼樹 

哈夫曼編碼

哈夫曼編碼用於數據存儲中做壓縮，如下案例：

給定一段包含 50 個字符的字符串，由 {a,b,c,d,e,f}構成，且每個字符出現次數不同，會有如下幾種存儲方式。

• 等長 ASCII 編碼，存儲長度為 50 * 8 = 400 位
• 等長 3 位編碼，存儲長度為 50 * 3 = 150 位
• 不等長編碼，出現頻率高的字符編碼短些，出現頻率低的字符編碼長些。

第三種便可以使用哈夫曼樹來實現，假如給定：

| 字符 |  a  |  b  |  c  |  d  |  e  |  f  |
| 次數 |  18 |  4  |  16 |  1  |  1  |  10 |

構成哈夫曼樹：

       50
    0/    \1
  a(18)    32
        0/    \1
      c(16)    16
            0/    \1
            6      f(10)
         0/   \1
         2     b(4)
       0/ \1
    d(1)   e(1)

所以： a:0; b:1101; c:10; d:11000; e:11001; f:111 。

長度為： 1 * 18 + 4 * 4 + 16 * 2 + 1 * 5 + 1 * 5 + 10 * 3 = 106 字符。

emmm... 大概就是這么個東西。好了，筆記寫完了，繼續學習...