前天acm實驗課，老師教了幾種排序，抓的一套題上有一個哈夫曼樹的題，正好之前離散數學也講過哈夫曼樹，這里我就結合課本，整理一篇關於哈夫曼樹的博客。
主要摘自https://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3706821.html感謝大佬
https://www.cnblogs.com/kubixuesheng/p/4397798.html這位大佬舉例很好
哈夫曼樹的介紹
Huffman Tree，中文名是哈夫曼樹或霍夫曼樹，它是最優二叉樹。
定義：給定n個權值作為n個葉子結點，構造一棵二叉樹，若樹的帶權路徑長度達到最小，則這棵樹被稱為哈夫曼樹。 這個定義里面涉及到了幾個陌生的概念，下面就是一顆哈夫曼樹，我們來看圖解答。
(01) 路徑和路徑長度
定義：在一棵樹中，從一個結點往下可以達到的孩子或孫子結點之間的通路，稱為路徑。通路中分支的數目稱為路徑長度。若規定根結點的層數為1，則從根結點到第L層結點的路徑長度為L-1。 例子：100和80的路徑長度是1，50和30的路徑長度是2，20和10的路徑長度是3。
(02) 結點的權及帶權路徑長度
定義：若將樹中結點賦給一個有着某種含義的數值，則這個數值稱為該結點的權。結點的帶權路徑長度為：從根結點到該結點之間的路徑長度與該結點的權的乘積。 例子：節點20的路徑長度是3，它的帶權路徑長度= 路徑長度 * 權 = 3 * 20 = 60。
(03) 樹的帶權路徑長度
定義：樹的帶權路徑長度規定為所有葉子結點的帶權路徑長度之和，記為WPL。 例子：示例中，樹的WPL= 1*100 + 2*50 + 3*20 + 3*10 = 100 + 100 + 60 + 30 = 290。
比較下面兩棵樹
上面的兩棵樹都是以{10, 20, 50, 100}為葉子節點的樹。
左邊的樹WPL=2*10 + 2*20 + 2*50 + 2*100 = 360 右邊的樹WPL=350
左邊的樹WPL > 右邊的樹的WPL。你也可以計算除上面兩種示例之外的情況，但實際上右邊的樹就是{10,20,50,100}對應的哈夫曼樹。至此，應該堆哈夫曼樹的概念有了一定的了解了，下面看看如何去構造一棵哈夫曼樹。
哈夫曼樹的圖文解析
假設有n個權值，則構造出的哈夫曼樹有n個葉子結點。 n個權值分別設為 w1、w2、…、wn，哈夫曼樹的構造規則為：
1. 將w1、w2、…，wn看成是有n 棵樹的森林(每棵樹僅有一個結點)；
2. 在森林中選出根結點的權值最小的兩棵樹進行合並，作為一棵新樹的左、右子樹，且新樹的根結點權值為其左、右子樹根結點權值之和；
3. 從森林中刪除選取的兩棵樹，並將新樹加入森林；
4. 重復(02)、(03)步，直到森林中只剩一棵樹為止，該樹即為所求得的哈夫曼樹。
以{5,6,7,8,15}為例，來構造一棵哈夫曼樹。
第1步：創建森林，森林包括5棵樹，這5棵樹的權值分別是5,6,7,8,15。
第2步：在森林中，選擇根節點權值最小的兩棵樹(5和6)來進行合並，將它們作為一顆新樹的左右孩子(誰左誰右無關緊要，這里，我們選擇較小的作為左孩子)，並且新樹的權值是左右孩子的權值之和。即，新樹的權值是11。 然后，將"樹5"和"樹6"從森林中刪除，並將新的樹(樹11)添加到森林中。
第3步：在森林中，選擇根節點權值最小的兩棵樹(7和8)來進行合並。得到的新樹的權值是15。 然后，將"樹7"和"樹8"從森林中刪除，並將新的樹(樹15)添加到森林中。
第4步：在森林中，選擇根節點權值最小的兩棵樹(11和15)來進行合並。得到的新樹的權值是26。 然后，將"樹11"和"樹15"從森林中刪除，並將新的樹(樹26)添加到森林中。
第5步：在森林中，選擇根節點權值最小的兩棵樹(15和26)來進行合並。得到的新樹的權值是41。 然后，將"樹15"和"樹26"從森林中刪除，並將新的樹(樹41)添加到森林中。 此時，森林中只有一棵樹(樹41)。這棵樹就是我們需要的哈夫曼樹！
哈夫曼樹代碼
直接使用了PJQ師姐的代碼，之后有空會更新。
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> struct node { int key; struct node *l; struct node *r; }; typedef struct node *pnode; int mark[100]; struct node huffman[100]; void PrintNode(const pnode node) { printf("key = %d \n", node->key); } void PreOrder(pnode T) { if(T) { PrintNode(T); PreOrder(T->l); PreOrder(T->r); } } void Select(int *mark, struct node *huffman, int size, int *choose) { int i; for(i = 0; i< size; i++) { if(mark[i]) { choose[0] = i; i++; break; } } choose[1] = choose[0]; for(; i < size; i++) { if(mark[i]) { if(huffman[choose[0]].key >= huffman[i].key) { choose[1] = choose[0]; choose[0] = i; } else if(huffman[choose[1]].key > huffman[i].key) { choose[1] = i; } } } } void Choose(int *mark, struct node *huffman, int size, int *choose) { int i; int minkey = 0; int tkey = 0; int temp = 0; for(i = 0; i< size; i++) { if(mark[i]) { minkey = i; i++; break; } } tkey = minkey; for(; i< size; i++) { if(mark[i]) { if(huffman[i].key < huffman[minkey].key) { tkey = minkey; minkey = i; } if(tkey == minkey) tkey = i; if(huffman[tkey].key > huffman[i].key && i != minkey) { tkey = i; } } } choose[0] = minkey; choose[1] = tkey; } pnode HuffmanTree(int *mark, struct node *huffman, int size) { int choose[2]; int i; pnode mynode; for(i = 0; i < size-1; i++) { Select(mark, huffman, size, choose); mynode = (pnode)malloc(sizeof(struct node)); mynode->key = huffman[choose[0]].key+huffman[choose[1]].key;//更新key值 mynode->l = (pnode)malloc(sizeof(struct node)); mynode->l->key = huffman[choose[0]].key; mynode->l->l = huffman[choose[0]].l; mynode->l->r = huffman[choose[0]].r; mynode->r = &huffman[choose[1]]; huffman[choose[0]] = *mynode; mark[choose[1]] = 0; free(mynode); } return &huffman[choose[0]]; } int main(void) { int key[8] = {5,29,7,8,14,23,3,11}; int i; pnode huffmantree; memset(mark, -1, sizeof(mark)); memset(huffman, 0, sizeof(huffman)); for(i = 0; i < 8; i++) { huffman[i].key = key[i]; } huffmantree = HuffmanTree(mark, huffman, 8); PreOrder(huffmantree); return 0; }
在解決acm競賽題時，可以直接使用C++ STL里的優先隊列實現，因為優先隊列具有直接排序的功能，可以模擬節點和合並。
這個代碼是之前遇到的大頂堆問題，但它並不能建立樹形結構，只能用來求樹的最小帶權路徑長度。
#include<cstdio> #include<cstring> #include<queue> #include<vector> #include<algorithm> #define ll long long int using namespace std; int main() { int n,i; int x,y; int a; ll ans=0; priority_queue<int,vector<int>,greater<int> >q; scanf("%d",&n); for(i=0;i<n;i++) { scanf("%d",&a); q.push(a); } while(q.size()>1) { x=q.top(); q.pop(); y=q.top(); q.pop(); ans+=x+y; q.push(x+y); } printf("%lld\n",ans); return 0; }
哈夫曼編碼
哈夫曼樹的應用很廣，哈夫曼編碼就是其在電訊通信中的應用之一。廣泛地用於數據文件壓縮的十分有效的編碼方法。其壓縮率通常在20%～90%之間。在電訊通信業務中，通常用二進制編碼來表示字母或其他字符，並用這樣的編碼來表示字符序列。
例：如果需傳送的電文為 ‘ABACCDA’，它只用到四種字符，用兩位二進制編碼便可分辨。假設 A, B, C, D 的編碼分別為 00, 01,10, 11，則上述電文便為 ‘00010010101100’（共 14 位），譯碼員按兩位進行分組譯碼，便可恢復原來的電文。
能否使編碼總長度更短呢？
實際應用中各字符的出現頻度不相同，用短（長）編碼表示頻率大（小）的字符，使得編碼序列的總長度最小，使所需總空間量最少
數據的最小冗余編碼問題
在上例中，若假設 A, B, C, D 的編碼分別為 0，00，1，01，則電文 ‘ABACCDA’ 便為 ‘000011010’（共 9 位），但此編碼存在多義性：可譯為： ‘BBCCDA’、‘ABACCDA’、‘AAAACCACA’ 等。
譯碼的惟一性問題
要求任一字符的編碼都不能是另一字符編碼的前綴，這種編碼稱為前綴編碼（其實是非前綴碼）。 在編碼過程要考慮兩個問題，數據的最小冗余編碼問題，譯碼的惟一性問題，利用最優二叉樹可以很好地解決上述兩個問題
用二叉樹設計二進制前綴編碼
以電文中的字符作為葉子結點構造二叉樹。然后將二叉樹中結點引向其左孩子的分支標 ‘0’，引向其右孩子的分支標 ‘1’； 每個字符的編碼即為從根到每個葉子的路徑上得到的 0, 1 序列。如此得到的即為二進制前綴編碼。
編碼： A：0， C：10，B：110，D：111
任意一個葉子結點都不可能在其它葉子結點的路徑中。
用哈夫曼樹設計總長最短的二進制前綴編碼
假設各個字符在電文中出現的次數（或頻率）為 wi ，其編碼長度為 li，電文中只有 n 種字符，則電文編碼總長為：
設計電文總長最短的編碼，設計哈夫曼樹（以 n 種字符出現的頻率作權），
由哈夫曼樹得到的二進制前綴編碼稱為哈夫曼編碼
例：如果需傳送的電文為 ‘ABACCDA’，即：A, B, C, D
的頻率（即權值）分別為 0.43, 0.14, 0.29, 0.14，試構造哈夫曼編碼。
編碼： A：0， C：10， B：110， D：111 。電文 ‘ABACCDA’ 便為 ‘0110010101110’（共 13 位）。
例：如果需傳送的電文為 ‘ABCACCDAEAE’，即：A, B, C, D, E 的頻率（即權值）分別為0.36, 0.1, 0.27, 0.1, 0.18，試構造哈夫曼編碼。
編碼： A：11，C：10，E：00，B：010，D：011 ，則電文 ‘ABCACCDAEAE’ 便為 ‘110101011101001111001100’（共 24 位，比 33 位短）。
電文為 “1101000” ，譯文只能是“CAT”
哈夫曼算法的真正確性
其實想要簡單了解和使用哈夫曼算法，看到前面已經可以了，博主由於復習算法設計分析，這里增加關於哈夫曼算法正確性的推理。
要證明哈夫曼算法的正確性，只要證明最優前綴碼問題具有貪心選擇性質和最優子結構。
1、貪心選擇性質
2、最優子結構性質
