三角形的垂心

1. 垂心的概念

   1. 三角形三條高所在直線的交點叫做三角形的垂心
      
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2. 垂心的性質

   1. 必然存在
      1. 證明
         
         1. 如圖，由同側角相等判定$A,B,E,D$四點共圓，則$\angle ABD=\angle AED$
         2. 同理，$\angle ACF=\angle AED$
         3. 由中間的斜八字型得$\angle AFC=\angle BDC=90^{\circ}$
   2. 基本性質
      1. 三角形的垂心與頂點的連線垂直於該頂點的對邊
         1. 證明：由定義得
      2. 三角形的垂心與三個頂點構成一個垂心組，即這四點中以任意三點為三角形的頂點，則另一點為這個三角形的垂心
         1. 效果圖
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            4. 
         2. 證明
            1. 原三角形的的三邊成為了新三角形的邊和高，原三角形的高成為了新三角形的邊和延長線
            2. 由效果圖顯然易知
   3. 推論
      1. 推論1（設H為$△ABC$的垂心）
         1. 當$△ABC$為銳角三角形時，有
            
            1. $AB^2-AC^2=HB^2-HC^2，且\angle BHC=\angle ABC+\angle ACB=180°-\angle BAC$
               1. 證明
                  1. 由勾股定理得$AB^2-AC^2=BD^2-CD^2,HB^2-CH^2=BD^2-CD^2$，邊的關系得證
                  2. $\angle BHC=\angle EHF=180°-\angle BAC$，且$\angle ABC+\angle ACB+\angle BAC=180°$，顯然易證$\angle BHC=\angle ABC+\angle ACB=180°-\angle BAC$
            2. 對於其他兩個角同理
         2. 當$△ABC$為鈍角三角形時，有
            
            1. $AB^2-AC^2=HB^2-HC^2，且\angle CHA=\angle ABC$
               1. 證明：思想同上
            2. 對於其他兩個角同理
      2. 推論2：相似關系
         1. 有3組相似關系，每組有4個，如圖展式一組
            
            
            

            1. 由此顯然易證$AH \cdot HD=BH \cdot HE=CH\cdot HF$（由比例式得，或由下面的四點共圓證）

      3.  推論3，6組四點共圓（3組對角互補，3組同側角相等），此處展式2組

         1. 

      4. 推論4

         1. 點H關於$△ABC$的對稱點$H_1,H_2,H_3$均在$△ABC$的外接圓上
            
            
            1. 延長CE到G交外接圓於G，要求證HE=EG
            2. 由斜八字得$\angle ACG=\angle ABD$，又由等弦對等角得$\angle ACG=\angle ABG$，則$\angle ABD=\angle ABG$
            3. 由全等得HE=EG

      5. 推論5

         1.  $△ABC、△BCH、△ACH、ABH$的外接圓是等圓
            

            1. 證明：由推論4翻折出來即可