三角形的重心

1. 重心的概念

   1. 三角形三條中線的交點，叫做三角形的重心，三角形的重心在三角形的內部
      
      如圖，G為$△ABC$的重心
   2. 永遠存在
      1. 證明：如圖，已知CF、BE為中線，求證：AD為中線
      
      1. 過B作BH//CF，則G為AH中點
      2. 又因為E為中點，所以EG為$△ACH$的中位線，則EG//CH
      3. 所以四邊形CGBH為平行四邊形，則由平行四邊形對角線互相平分得BD=CD

2. 重心的性質

   1. 基本性質
      1. 三角形重心與頂點的距離等於它與對應中點的距離的兩倍，即$\displaystyle \frac{AG}{GD}=\frac{BG}{GE}=\frac{CG}{GF}=2$
      2. 證明1
         1. 由共邊定理得
            
         2. 由蝴蝶定理得
            
         3. 於是有
            
         4. 由共邊定理得$\displaystyle \frac{AG}{DG}=\frac{\triangle ACG}{\triangle CDG}=2$
         5. 同理可推得其他邊的關系
      3. 證明2
         1. 連接$DE$，由中位線得平行，得八字模型，由相似和中位線$\frac{1}{2}$得$2$倍
            
   2. 推論1
      1. 設$G$是$\triangle ABC$中一點，若$\displaystyle S_{\triangle ABG}=S_{\triangle ABC}=\frac{1}{3}S_{\triangle ABC}$，則$G$為$\triangle ABC$的重心
         1. 證明
            1. 由共邊定理（燕尾模型）得$\displaystyle \frac{BD}{CD}=\frac{S_{\triangle ABG}}{S_{\triangle ACG}}=1$，即$G$為$\triangle ABC$中點
            2. 同理可證其他中點
   3. 推論2
      1. $G$為$\triangle ABC$的重心，若$AG^2+BG^2=CG^2$，則$AD ⊥ BE$
         
         1. 證明
            
            1. 倍長中線，得平行且$MG=CG，AG=BM$，所以$\displaystyle \angle MBG = 90^{\circ}$
      2. $G$為$\triangle ABCD$的重心，若$AD ⊥ BE$，則$AG^2+BG^2=CG^2$
         
         
         1. 證明
            1. 由垂直得勾股關系，又由直角三角形斜邊中線定理得$AB=CG$，即可得證
   4. 推論3
      1. $G$為$\triangle ABC$中點，過$G$作$DE //BC$，$PF//AC$，$KH//AB$，則$\displaystyle \frac{DE}{BC}=\frac{FP}{CA}=\frac{KH}{AB}=\frac{2}{3}$
         
         1. 證明
            
            1. 連AG並延長至M交BC於M，則M為BC中點
            2. 由$DG//CB$得$\displaystyle \frac{AD}{AB}=\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}$
            3. 由相似得$\displaystyle \frac{DE}{BC}=\frac{FP}{CA}=\frac{KH}{AB}$
   5. 推論4
      1. G為邊長為$a$的等邊三角形ABC的中點，則$\displaystyle GA=GB=GC=\frac{\sqrt{3}}{3}a$
         
         1. 證明
            1. 等邊三角形四心合一點，得$△ABG$為$30°、30°、120°$型三角形，邊之比為$1:1:\sqrt{3}$，故$\displaystyle GA=\frac{AB}{\sqrt{3}}$